# Define-for-sets-A-and-B-A-B-A-B-B-A-Show-that-A-B-A-B-A-B-Prove-that-A-B-C-A-B-C-

Question Number 3113 by Yozzi last updated on 05/Dec/15
$${Define},\:{for}\:{sets}\:{A}\:{and}\:{B}, \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{A}\ast{B}=\left({A}−{B}\right)\cup\left({B}−{A}\right). \\$$$${Show}\:{that}\:{A}\ast{B}=\left({A}\cup{B}\right)−\left({A}\cap{B}\right). \\$$$${Prove}\:{that}\:{A}\ast\left({B}\ast{C}\right)=\left({A}\ast{B}\right)\ast{C}.\: \\$$
Commented by Yozzi last updated on 06/Dec/15
$${It}\:{is}\:{proof}\:{of}\:{the}\:{associativity}\:{of}\:{the} \\$$$${operation}\:\ast\:{which}\:{is}\:{giving}\:{me}\: \\$$$${trouble}.\:{My}\:{current}\:{mental}\:{approach}\: \\$$$${includes}\:{a}\:{consideration}\:{of}\:{a}\: \\$$$${general}\:{Venn}\:{diagram}\:{for}\:\mathrm{3}\:{sets}, \\$$$${after}\:{making}\:{an}\:{unsucessful}\:{algebraic}\:{attempt}. \\$$$$\left({Hopefully}\:{I}'{ll}\:{determine}\:{an}\:\right. \\$$$$\left.{algebraic}\:{solution},{soon}…\right) \\$$
Commented by prakash jain last updated on 06/Dec/15
$${added}\:{an}\:{algebraic}\:{proof}\:{by}\:{simplifying} \\$$$${both}\:{sides}. \\$$
Commented by Yozzi last updated on 06/Dec/15
$${Is}\:{it}\:{possible}\:{to}\:{use}\:{only}\:{one}\:{side} \\$$$${without}\:{looking}\:{at}\:{simplifying} \\$$$${the}\:{next}?\:{This}\:{method}\:{gave}\:{me} \\$$$${problems}.\: \\$$
Commented by prakash jain last updated on 06/Dec/15
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{the}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{start}\:\mathrm{at}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{step}\:\mathrm{of} \\$$$$\mathrm{LHS}\:\mathrm{and}\:\mathrm{do}\:\mathrm{RHS}\:\mathrm{steps}\:\mathrm{in}\:\mathrm{reverse}\:\mathrm{order}! \\$$
Answered by prakash jain last updated on 05/Dec/15
$$\mathrm{A}−\mathrm{B}=\mathrm{A}\cap\mathrm{B}' \\$$$$\mathrm{B}−\mathrm{A}=\mathrm{B}\cap\mathrm{A}' \\$$$$\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}\right)\cup\left(\mathrm{B}−\mathrm{A}\right)=\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\right)\cup\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{A}'\right) \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cup\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{A}'\right)\right)\cap\left(\mathrm{B}'\cup\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{A}'\right)\right) \\$$$$=\left(\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{A}'\right)\right)\cap\left(\left(\mathrm{B}'\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{B}'\cup\mathrm{A}'\right)\right) \\$$$$\:\:\:\:\mathrm{A}\cup\mathrm{A}'=\mathrm{U}\:\mathrm{universal}\:\mathrm{set} \\$$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{A}'\right)=\mathrm{A}\cup\mathrm{B} \\$$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{B}'\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{B}'\cup\mathrm{A}'\right)=\mathrm{B}'\cup\mathrm{A}' \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{B}'\cup\mathrm{A}'\right)=\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)' \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)−\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right) \\$$
Commented by Rasheed Soomro last updated on 06/Dec/15
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{G}^{\overset{\mathcal{V}} {\mathcal{OO}}} \mathcal{D}\:\:\:\:! \\$$
Answered by prakash jain last updated on 06/Dec/15
$$\mathrm{RHS}=\left(\mathrm{A}\ast\mathrm{B}\right)\ast\mathrm{C} \\$$$$=\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\right)\right)\ast\mathrm{C} \\$$$$=\left(\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\right)\right)\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\right)\right)'\cap\mathrm{C}\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\right)=\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)'\:\mathrm{see}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{in}\:\mathrm{prev}\:\mathrm{ans} \\$$$$=\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\right)\cup\left(\left(\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)\cap\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)'\right)'\cap\mathrm{C}\right) \\$$$$=\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\right)\cup\left(\left(\left(\mathrm{A}\cup\mathrm{B}\right)'\cup\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\right)\cap\mathrm{C}\right) \\$$$$=\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\right)\cup\left(\left(\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\right)\cup\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\right)\cap\mathrm{C}\right) \\$$$$=\left(\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\right)\cup\left(\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\cup\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right)\right) \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\cup\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right) \\$$$$\mathrm{LHS}=\mathrm{A}\ast\left(\mathrm{B}\ast\mathrm{C}\right) \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cap\left(\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\right)'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\left(\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\right)\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)=\left(\mathrm{B}\cup\mathrm{C}\right)\cap\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right)'\:\mathrm{see}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{in}\:\mathrm{prev}\:\mathrm{ans} \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cap\left(\left(\mathrm{B}\cup\mathrm{C}\right)\cap\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right)'\right)'\right)\cup\left(\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\right) \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cap\left(\left(\mathrm{B}\cup\mathrm{C}\right)'\cup\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right)\right)\right)\cup\left(\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\right) \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cap\left(\left(\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right)\right)\right)\cup\left(\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right)\right) \\$$$$=\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}\cap\mathrm{C}'\right)\cup\left(\mathrm{A}'\cap\mathrm{B}'\cap\mathrm{C}\right) \\$$$$\mathrm{LHS}=\mathrm{RHS} \\$$