# f-R-R-If-x-2-f-x-f-1-x-2x-x-4-Determine-f-x-

Question Number 11517 by Joel576 last updated on 27/Mar/17
$${f}\::\:\mathbb{R}\:\rightarrow\:\mathbb{R} \\$$$$\mathrm{If}\:\:{x}^{\mathrm{2}} {f}\left({x}\right)\:+\:{f}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:=\:\mathrm{2}{x}\:−\:{x}^{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{Determine}\:{f}\left({x}\right) \\$$
Answered by sma3l2996 last updated on 27/Mar/17
$${let}\:{u}=\mathrm{1}−{x} \\$$$$\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{2}} {f}\left(\mathrm{1}−{u}\right)+{f}\left({u}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{u}\right)−\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{4}} \\$$$${so}\:{f}\left(\mathrm{1}−{u}\right)=\frac{\mathrm{2}−\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{1}−{u}\right)}−\frac{{f}\left({u}\right)}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$${f}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\frac{\mathrm{2}−\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)}−\frac{{f}\left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$${x}^{\mathrm{2}} {f}\left({x}\right)+{f}\left(\mathrm{1}−{x}\right)={x}^{\mathrm{2}} {f}\left({x}\right)−\frac{{f}\left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2}−\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)} \\$$$${f}\left({x}\right)\left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{2}−\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} }{\left(\mathrm{1}−{x}\right)}=\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{4}} \\$$$${f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)}\right)\left(\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\$$$$\\$$
Commented by Joel576 last updated on 28/Mar/17
$${thank}\:{you}\:{very}\:{much} \\$$
Commented by Joel576 last updated on 28/Mar/17
$${one}\:{more},\:{how}\:{can}\:{we}\:{determine}\:{the}\:{value} \\$$$${of}\:{f}\left(\mathrm{2009}\right)\:? \\$$
Answered by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 28/Mar/17
$${x}^{\mathrm{2}} {f}\left({x}\right)+{f}\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{4}} \\$$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} {f}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+{f}\left({x}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{x}\right)−\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} \\$$$$\left[{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right]{f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{4}} \right)\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{x}\right)+\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{4}} = \\$$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left[\mathrm{2}{x}−{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{2}+\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{3}} \right)= \\$$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left({x}^{\mathrm{5}} −{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{1}\right)= \\$$$$−{x}^{\mathrm{6}} +{x}^{\mathrm{5}} +{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}+{x}^{\mathrm{5}} −{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{1}= \\$$$$−\left({x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)= \\$$$$−\left({x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{4}} =\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)= \\$$$$\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\left(−{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\left(−{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right)= \\$$$$\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)\left(−{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right) \\$$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right)}{\left(\mathrm{1}−{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right)\left(\mathrm{1}+{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right)}= \\$$$${f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \\$$$${f}\left(\mathrm{2009}\right)=\left(\mathrm{1}−\mathrm{2009}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2009}\right)= \\$$$$−\mathrm{2010}×\mathrm{2008} \\$$$$\\$$