# If-cos-1-sin-a-a-pi-2-2kpi-So-tan-2-A-a-a-1-D-a-1-a-1-B-1-a-1-E-a-a-1-C-a-1-a

Question Number 10955 by Joel576 last updated on 04/Mar/17
$$\mathrm{If}\:\:\frac{\mathrm{cos}\:\theta}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{sin}\:\theta}\:=\:{a}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}\:\neq\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:+\:\mathrm{2}{k}\pi \\$$$$\mathrm{So},\:\:\mathrm{tan}\:\frac{\theta}{\mathrm{2}}\:=\:… \\$$$$\left(\mathrm{A}\right)\:\:\frac{{a}}{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{D}\right)\:\:\frac{{a}\:+\:\mathrm{1}}{{a}\:−\:\mathrm{1}} \\$$$$\left(\mathrm{B}\right)\:\:\frac{\mathrm{1}}{{a}\:+\:\mathrm{1}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{E}\right)\:\:\frac{{a}}{{a}\:−\:\mathrm{1}} \\$$$$\left(\mathrm{C}\right)\:\:\frac{{a}\:−\:\mathrm{1}}{{a}\:+\:\mathrm{1}} \\$$
Answered by ajfour last updated on 04/Mar/17
$$\\$$$$\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\theta\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\theta\right)}=\frac{\mathrm{2sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)\:}{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)} \\$$$$=\mathrm{cot}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)\:=\:{a} \\$$$$\mathrm{tan}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\:\:;\:{let}\:\mathrm{tan}\:\left(\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)=\:{p} \\$$$$\frac{\mathrm{1}−{p}}{\mathrm{1}+{p}}\:=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\:\Rightarrow\:{a}−{ap}\:=\mathrm{1}+{p} \\$$$${p}\:=\frac{{a}−\mathrm{1}}{{a}+\mathrm{1}}\:. \\$$
Commented by Joel576 last updated on 05/Mar/17
$${thank}\:{you}\:{very}\:{much} \\$$
Answered by ridwan balatif last updated on 04/Mar/17
$$\mathrm{another}\:\mathrm{way} \\$$$$\left(\frac{\mathrm{cos}\theta}{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\theta\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta\right)}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\theta}{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\theta}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{sin}\theta=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{cos}\theta=\frac{\mathrm{2a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{remember}:\:\mathrm{tan}\frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{sin}\theta}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\theta} \\$$$$\mathrm{tan}\frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\$$$$\mathrm{tan}\frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\:} \\$$$$\mathrm{tan}\frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2a}+\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{tan}\frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$$\mathrm{tan}\frac{\theta}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{Answer}:\:\left(\mathrm{C}\right) \\$$
Commented by Joel576 last updated on 05/Mar/17
$${thank}\:{you}\:{very}\:{much} \\$$