# Question-142191

Question Number 142191 by iloveisrael last updated on 27/May/21
Commented by Mathspace last updated on 27/May/21
$${why}\:{tan}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)={i}+\frac{\mathrm{2}{i}}{\mathrm{1}+{e}^{{ix}} }\:? \\$$$${and}\:{what}\:{is}\:{value}\:{of}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{{sin}\left({nx}\right)}{\mathrm{1}+{e}^{{ix}} }{dx} \\$$$${all}\:{this}\:{need}\:{proof}… \\$$
Commented by MJS_new last updated on 28/May/21
$$\mathrm{typo} \\$$$$\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}\:=−\mathrm{i}+\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} } \\$$$$\mathrm{proof}: \\$$$$\mathrm{tan}\:{y}\:=\frac{\mathrm{sin}\:{y}}{\mathrm{cos}\:{y}}=\frac{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{y}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i}{y}} }{\mathrm{2i}}}{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{y}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{i}{y}} }{\mathrm{2}}}=−\mathrm{i}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{y}} −\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{y}} +\mathrm{1}}=−\mathrm{i}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}{y}} +\mathrm{1}}\right)= \\$$$$\:\:\:\:\:\left[{y}=\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right] \\$$$$=−\mathrm{i}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} } \\$$
Commented by iloveisrael last updated on 27/May/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/May/21
$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\$$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cosx}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)×\frac{−\mathrm{sinx}}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{sinx}\:.\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{nA}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{sinx}.\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}.\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} }{\mathrm{2i}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}}\mathrm{dx} \\$$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} \right)}{\mathrm{2}+\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }\mathrm{dx} \\$$$$=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{n}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}} \right)}{\left(\mathrm{2}+\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}} \\$$$$=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dz} \\$$$$=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2i}\pi\right)\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{with}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\$$$$\left.\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{1}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \right\}\varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\$$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow−\mathrm{1}} \:\:\:\left\{\mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\$$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} −\left(−\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{−\mathrm{n}} −\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{−\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\$$$$=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \\$$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}−\mathrm{1}−\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{n}+\mathrm{1}\right\} \\$$$$=\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{nA}_{\mathrm{n}} =−\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}\pi\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\left(\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\right) \\$$