# Question-76587

Question Number 76587 by Master last updated on 28/Dec/19
Commented by Master last updated on 28/Dec/19
$$\mathrm{sir}\:\mathrm{mind}\:\mathrm{is}\:\mathrm{power} \\$$
Commented by Master last updated on 28/Dec/19
$$#\mathrm{correction} \\$$$$\mathrm{Problem}\:\mathrm{7} \\$$$$\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{absolute}\:\mathrm{continuous} \\$$$$\mathrm{on}\:\left[\mathrm{a};\mathrm{b}\right] \\$$
Commented by Master last updated on 28/Dec/19
$$\mathrm{sir}\:\:\mathrm{W} \\$$
Answered by mr W last updated on 29/Dec/19
Commented by mr W last updated on 29/Dec/19
$${AB}=\mathrm{40} \\$$$${EF}=\mathrm{41}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right) \\$$$${side}\:{length}\:{of}\:{square}\:={a} \\$$$$\frac{{a}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{120}°}=\frac{{AB}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{60}°−\alpha\right)} \\$$$$\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{60}°−\alpha\right)=\frac{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{{a}} \\$$$$\Rightarrow\alpha=\mathrm{60}°−\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{{a}} \\$$$$\mathrm{sin}\:\alpha=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}×\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}}}{{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{{a}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}\right)}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{a}} \\$$$$\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}}}{{a}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{{a}}=\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}}+\mathrm{60}}{\mathrm{2}{a}} \\$$$$\\$$$$\frac{{EZ}}{\mathrm{sin}\:\alpha}=\frac{{ZY}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{120}°}=\frac{\mathrm{2}{a}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$$\Rightarrow{EZ}=\frac{\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:\alpha}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$$\frac{{FZ}}{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{30}°−\alpha\right)}=\frac{{ZA}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{120}°}=\frac{\mathrm{2}{a}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$$\Rightarrow{FZ}=\frac{\mathrm{2}{a}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{30}°−\alpha\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$${EZ}+{FZ}=\mathrm{41}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right) \\$$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}{a}\left[\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{30}°−\alpha\right)\right]}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}=\mathrm{41}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right) \\$$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{30}°−\alpha\right)=\frac{\mathrm{41}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{2}{a}} \\$$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\:\alpha+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{41}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{2}{a}} \\$$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\alpha=\frac{\mathrm{41}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{{a}} \\$$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}\right)}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{a}}+\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}}+\mathrm{60}}{\mathrm{2}{a}}=\frac{\mathrm{41}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{{a}} \\$$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\sqrt{\mathrm{3}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}\right)}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}}+\mathrm{60}=\mathrm{82}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\$$$$\Rightarrow\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1200}}=\mathrm{21}\sqrt{\mathrm{3}} \\$$$$\Rightarrow{a}=\sqrt{\mathrm{1200}+\left(\mathrm{21}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{29}\sqrt{\mathrm{3}}\approx\mathrm{50}.\mathrm{23} \\$$
Commented by mr W last updated on 30/Dec/19
$${is}\:{the}\:{result}\:{correct}? \\$$
Commented by Master last updated on 30/Dec/19
$$\mathrm{thanks} \\$$
Commented by mr W last updated on 30/Dec/19
$${do}\:{you}\:{know}\:{the}\:{answer}?\:{is}\:{my} \\$$$${answer}\:{correct}? \\$$