Question Number 215992 by MATHEMATICSAM last updated on 24/Jan/25

$$\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{x}} \:+\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{x}} \:=\:\mathrm{10}.\:\mathrm{Solve} \\ $$$$\mathrm{for}\:{x}. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 24/Jan/25

$$\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{x}} \:+\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{{x}} \:=\:\mathrm{10}.\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}. \\ $$$$\: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\:={a} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{a}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}\centerdot\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}=\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$${a}^{{x}} +\frac{\mathrm{1}}{{a}^{{x}} }=\mathrm{10} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{10}{a}^{{x}} +\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{{x}} =\frac{\mathrm{10}\pm\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$${x}\mathrm{log}\:{a}=\mathrm{log}\left(\mathrm{5}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right) \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{5}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{log}\left({a}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{5}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)} \\ $$$${x}=\mathrm{log}_{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)} \left(\mathrm{5}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\: \\ $$$$\:\:=\mathrm{log}_{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2},−\mathrm{2} \\ $$