Resolver-x-1-x-2-x-1-3-

Question Number 217389 by Simurdiera last updated on 12/Mar/25

$$\mathrm{Resolver} \\ $$$$\frac{\mid{x}\:−\:\mathrm{1}\mid\:+\:\mid{x}\:+\:\mathrm{2}\mid}{\mid{x}\mid\:−\:\mathrm{1}}\:\leq\:\mathrm{3} \\ $$

Answered by A5T last updated on 13/Mar/25

$$\mathrm{when}\:−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}<−\mathrm{1};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2}\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}\leqslant−\mathrm{3x}−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}<−\mathrm{1}\Rightarrow\:\mathrm{x}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{when}\:−\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$−\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{3}\geqslant\mathrm{3}\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{2}\geqslant−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:−\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{it}\:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{1};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{3}\geqslant\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}\:\mathrm{but}\:\mathrm{0}<\mathrm{x}<\mathrm{1}\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}>\mathrm{1};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{x}−\mathrm{1},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{1}\leqslant\mathrm{3x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{4}\:\mathrm{but}\:\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}\in\:\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2};\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−\mathrm{x},\:\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid=−\mathrm{x}−\mathrm{2}\:\wedge\:\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid}{\mid\mathrm{x}\mid−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3}\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}−\mathrm{x}−\mathrm{2}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2x}−\mathrm{1}\leqslant−\mathrm{3x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:\mathrm{x}<−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\:\left(−\infty,−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:\in\:\left(−\infty,−\mathrm{2}\right]\:\cup\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\:\cup\:\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$

Commented by Simurdiera last updated on 12/Mar/25

$${Gracias}\:\underline{\underbrace{\lesseqgtr}} \\ $$

Commented by Hanuda354 last updated on 13/Mar/25

$$\:\:\:\mathrm{x}\:\in\:\left(−\infty,−\mathrm{2}\right]\:\cup\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\:\cup\:\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$$$ \\ $$

Answered by mehdee7396 last updated on 12/Mar/25

$${x}=\mathrm{0},\mathrm{1},−\mathrm{2} \\ $$$${if}\:\:\:{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{−{x}+\mathrm{1}−{x}−\mathrm{2}}{−{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{x}+\mathrm{2}}{−{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:{or}\:\:{x}>−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:\left({i}\right) \\ $$$${if}\:\:\:−\mathrm{2}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{−{x}+\mathrm{1}+{x}+\mathrm{2}}{−{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{3}{x}+\mathrm{6}}{−{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}\leqslant−\mathrm{2}\:\:{or}\:\:{x}>−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow{x}\in\left\{−\mathrm{2}\right\}\cup\:\left(−\mathrm{1},\mathrm{0}\right]\:\:\left({ii}\right) \\ $$$${if}\:\:\:\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{−{x}+\mathrm{1}+{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{−\mathrm{3}{x}+\mathrm{6}}{{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}<\mathrm{1}\:{or}\:\:{x}\geqslant\mathrm{2}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant{x}<\mathrm{1}\:\left({iii}\right) \\ $$$${if}\:\:\:\mathrm{1}<{x}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\frac{{x}−\mathrm{1}+{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{−{x}+\mathrm{4}}{{x}−\mathrm{1}}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow{x}<\mathrm{1}\:{or}\:\:{x}\geqslant\mathrm{4}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\cap\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow{x}=\mathrm{1}\:{or}\:{x}\geqslant\mathrm{4}\:\:\left({iv}\right) \\ $$$$\left({i}\right)\cup\left({ii}\right)\cup\left({iii}\right)\cup\left({iv}\right)=\left(−\infty,−\mathrm{2}\right]\cup\left(−\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\cup\left[\mathrm{4},\infty\right) \\ $$$$ \\ $$

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