Matrices and Determinants

Definitions

$$\mathrm{An}\:{m}×{n}\:\mathrm{matrix}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{rectangular} \\ $$

$$\mathrm{array}\:\mathrm{of}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{with}\:{m}\:\mathrm{rows}\:\mathrm{and}\:{n} \\ $$

$$\mathrm{colums} \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}=\left[{a}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} }&{{a}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{1}{n}} }\\{{a}_{\mathrm{21}} }&{{a}_{{zz}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{2}{n}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{a}_{{m}\mathrm{1}} }&{{a}_{{m}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{a}_{{mn}} }\end{bmatrix} \\ $$

Square Matrix

$$\mathrm{Square}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:{n}×{n}. \\ $$

$$\mathrm{A}\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix}\:\left[{a}_{{ij}} \right]\:\mathrm{is}\:\mathrm{symmtrc}\:\mathrm{if}\:{a}_{{ij}} ={a}_{{ji}.} \\ $$

$$\mathrm{A}\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix}\:\left[{a}_{{ij}} \right]\:\mathrm{is}\:\mathrm{skew}−\mathrm{symmtrc}\:\mathrm{if}\:{a}_{{ij}} =−{a}_{{ji}.} \\ $$

Diagonal Matrix

$$\mathrm{Diagonal}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{with}\:\mathrm{all} \\ $$

$$\mathrm{elements}\:\mathrm{zero}\:\mathrm{except}\:\mathrm{those}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{leading} \\ $$

$$\mathrm{diagonal}. \\ $$

Unit Matrix

$$\mathrm{Unit}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{diagonal}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{in}\:\mathrm{which} \\ $$

$$\mathrm{all}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{leading}\:\mathrm{diagonal} \\ $$

$$\mathrm{are}\:\mathrm{1}.\:\mathrm{Unit}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{denoted}\:\mathrm{by}\:\boldsymbol{{I}}. \\ $$

Null Matrix

$$\mathrm{A}\:\mathrm{null}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{one}\:\mathrm{whose}\:\mathrm{all}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{are}\:\mathrm{0}. \\ $$

Operations with Matrics

Addition/Subtraction

$$\mathrm{Two}\:\mathrm{matrices}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{and}\:\boldsymbol{{B}}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and} \\ $$

$$\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{they}\:\mathrm{are}\:\mathrm{both}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{shape}\:\mathrm{and} \\ $$

$$\mathrm{corresponding}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}. \\ $$

$$\mathrm{Two}\:\mathrm{matrices}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{added}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{subtracted}\right) \\ $$

$$\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{they}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{shape}\:{m}×{n}. \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}=\left[{a}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} }&{{a}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{1}{n}} }\\{{a}_{\mathrm{21}} }&{{a}_{\mathrm{22}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{2}{n}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{a}_{{m}\mathrm{1}} }&{{a}_{{m}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{a}_{{mn}} }\end{bmatrix} \\ $$

$$\boldsymbol{{B}}=\left[{b}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{b}_{\mathrm{11}} }&{{b}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{b}_{\mathrm{1}{n}} }\\{{b}_{\mathrm{21}} }&{{b}_{\mathrm{22}} }&{\ldots}&{{b}_{\mathrm{2}{n}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{b}_{{m}\mathrm{1}} }&{{b}_{{m}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{b}_{{mn}} }\end{bmatrix} \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{B}}=\left[{a}_{{ij}} +{b}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} +{b}_{\mathrm{11}} }&{{a}_{\mathrm{12}} +{b}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{1}{n}} +{b}_{\mathrm{1}{n}} }\\{{a}_{\mathrm{21}} +{b}_{\mathrm{21}} }&{{a}_{\mathrm{22}} +{b}_{\mathrm{22}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{2}{n}} +{b}_{\mathrm{2}{n}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{a}_{{m}\mathrm{1}} +{b}_{{m}\mathrm{1}} }&{{a}_{{m}\mathrm{2}} +{b}_{{m}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{a}_{{mn}} +{b}_{{mn}} }\end{bmatrix} \\ $$

Scaler Multiplication

$$\mathrm{If}\:{k}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{scaler},\:\mathrm{and}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{matrix},\:\mathrm{then} \\ $$

$${k}\boldsymbol{{A}}=\left[{ka}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{ka}_{\mathrm{11}} }&{{ka}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{ka}_{\mathrm{1}{n}} }\\{{ka}_{\mathrm{21}} }&{{ka}_{\mathrm{22}} }&{\ldots}&{{ka}_{\mathrm{2}{n}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{ka}_{{m}\mathrm{1}} \:}&{{ka}_{{m}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{ka}_{{mn}} }\end{bmatrix} \\ $$

Multiplication

$$\mathrm{Two}\:\mathrm{matrices}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{multiplied}\:\mathrm{together} \\ $$

$$\mathrm{only}\:\mathrm{when}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{colums}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first} \\ $$

$$\mathrm{is}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{rows}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{second}. \\ $$

$$\mathrm{If} \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}=\left[{a}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} }&{{a}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{1}{n}} }\\{{a}_{\mathrm{21}} }&{{a}_{\mathrm{22}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{2}{n}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{a}_{{m}\mathrm{1}} \:}&{{a}_{{m}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{a}_{{mn}} }\end{bmatrix} \\ $$

$$\mathrm{and} \\ $$

$$\boldsymbol{{B}}=\left[{b}_{{ij}} \right]=\begin{bmatrix}{{b}_{\mathrm{11}} }&{{b}_{\mathrm{12}} }&{\ldots}&{{b}_{\mathrm{1}{k}} }\\{{b}_{\mathrm{21}} }&{{b}_{\mathrm{22}} }&{\ldots}&{{b}_{\mathrm{2}{k}} }\\{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\{{b}_{{n}\mathrm{1}} \:}&{{b}_{{n}\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{b}_{{nk}} }\end{bmatrix} \\ $$

$$\boldsymbol{{C}}=\boldsymbol{{AB}}=\left[{c}_{{ij}} \right]\:\mathrm{where} \\ $$

$${c}_{{ij}} =\underset{\lambda=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{i}\lambda} {b}_{\lambda{j}} \\ $$

$$\mathrm{If}\:{m}×{n}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{multiplied}\:\mathrm{with}\:{n}×{k} \\ $$

$$\mathrm{matrix}\:\mathrm{then}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:{m}×{k}\:\mathrm{matrix}. \\ $$

Transpose of a Matrix

$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{rows}\:\mathrm{and}\:\mathrm{columns}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{are} \\ $$

$$\mathrm{interchanged}\:\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{new}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is} \\ $$

$$\mathrm{called}\:\mathrm{the}\:\mathrm{transpose}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{matrix}. \\ $$

$$\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{matrix},\:\mathrm{its}\:\mathrm{transpose} \\ $$

$$\mathrm{is}\:\mathrm{denoted}\:\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} . \\ $$

$$\mathrm{If}\:\boldsymbol{{AA}}^{\mathrm{T}} =\boldsymbol{{I}}\:\mathrm{then}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{orthogonal}\:\mathrm{matrix}. \\ $$

$$\mathrm{If}\:\boldsymbol{{AB}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined},\:\mathrm{then} \\ $$

$$\left(\boldsymbol{{AB}}\right)^{\mathrm{T}} =\boldsymbol{{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} \\ $$

Positive Integral Powers

$$\mathrm{If}\:{A}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:{n}×{n}\:\mathrm{matrix},\:\mathrm{then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{define} \\ $$

$${A}^{\mathrm{2}} =\boldsymbol{{A}}{A},\:\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{3}} =\left(\boldsymbol{{AAA}}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{so}\:\mathrm{on}. \\ $$

$$\mathrm{In}\:\mathrm{general},\:\boldsymbol{{A}}^{{n}} =\left(\boldsymbol{{AA}}…{n}\:\mathrm{times}\right). \\ $$

$$\mathrm{Also},\:\:\:\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{0}} =\boldsymbol{{I}}_{{n}} \:\mathrm{where}\:\boldsymbol{{I}}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{identity} \\ $$

$$\mathrm{matrix}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:{n}. \\ $$

$$ \\ $$

Matrix Polynomial

$$\mathrm{Let}\:{f}\left({x}\right)=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}{a}_{{i}} {x}^{{i}} \:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{of} \\ $$

$$\mathrm{degree}\:\mathrm{m},\:\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{of}\: \\ $$

$$\mathrm{order}\:{n}.\:\mathrm{Then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{define} \\ $$

$${f}\left(\boldsymbol{{A}}\right)=\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{{m}} {\sum}}{a}_{{i}} \boldsymbol{{A}}^{{i}} \\ $$

Properties of Matrix Operations

$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Matrix}\:\mathrm{addition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{commutative}. \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{B}}=\boldsymbol{{B}}+\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\mathrm{2}.\:\mathrm{Matrix}\:\mathrm{addition}\:\mathrm{is}\:\mathrm{associative}. \\ $$

$$\left(\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{B}}\right)+\boldsymbol{{C}}=\boldsymbol{{A}}+\left(\boldsymbol{{B}}+\boldsymbol{{C}}\right) \\ $$

$$\mathrm{3}.\:\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:{m}×{n}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{and}\:\boldsymbol{{O}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:{m}×{n}\:\mathrm{null} \\ $$

$$\mathrm{matrix},\:\mathrm{then} \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{O}}=\boldsymbol{{O}}+\boldsymbol{{A}}=\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\mathrm{4}.\:\mathrm{Negative}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{matrix}\:\boldsymbol{{A}}=\left[{a}_{{ij}} \right]_{{m}×{n}} \\ $$

$$−\boldsymbol{{A}}=\left[−{a}_{{ij}} \right]_{{m}×{n}} \\ $$

$$\mathrm{5}.\:\mathrm{Subtration}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{matrices} \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}−\boldsymbol{{B}}=\boldsymbol{{A}}+\left(−\boldsymbol{{B}}\right) \\ $$

$$\mathrm{6}.\:\boldsymbol{{A}}−\boldsymbol{{A}}=\boldsymbol{{A}}+\left(−\boldsymbol{{A}}\right)=\left(−\boldsymbol{{A}}\right)+\boldsymbol{{A}}=\boldsymbol{{O}} \\ $$

$$\mathrm{7}.\:{k}\left(\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{B}}\right)={k}\boldsymbol{{A}}+{k}\boldsymbol{{B}},\:\mathrm{where}\:{k}\:\mathrm{scaler} \\ $$

$$\mathrm{8}.\:\left({k}_{\mathrm{1}} +{k}_{\mathrm{2}} \right)\boldsymbol{{A}}={k}_{\mathrm{1}} \boldsymbol{{A}}+{k}_{\mathrm{2}} \boldsymbol{{A}},\:\mathrm{where}\:{k}_{\mathrm{1}} ,{k}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{scaler} \\ $$

$$\mathrm{9}.\:{k}_{\mathrm{1}} \left({k}_{\mathrm{2}} \boldsymbol{{A}}\right)=\left({k}_{\mathrm{1}} {k}_{\mathrm{2}} \right)\boldsymbol{{A}},\:\mathrm{where}\:{k}_{\mathrm{1}} ,{k}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{scaler} \\ $$

$$\mathrm{10}.\:\left(\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} \right)^{\mathrm{T}} =\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\mathrm{11}.\:\left(\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{B}}\right)^{\mathrm{T}} =\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} +\boldsymbol{{B}}^{\mathrm{T}} \\ $$

$$\mathrm{12}.\:\left({k}\boldsymbol{{A}}\right)^{\mathrm{T}} ={k}\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} ,\:{k}\:\:\:\mathrm{scaler} \\ $$

$$\mathrm{13}.\:\mathrm{Symmetric}\:\mathrm{matrix}\:\:\:\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} =\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\mathrm{14}.\:\mathrm{Skew}−\mathrm{symmetric}\:\mathrm{matrix}\:\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} =−\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\mathrm{15}.\:\mathrm{Every}\:\mathrm{diagonal}\:\mathrm{element}\:\mathrm{of} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{skew}−\mathrm{symmetric}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}. \\ $$

$$\mathrm{16}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{symmetric}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{symmetric}. \\ $$

$$\mathrm{17}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{skew}−\mathrm{symmetric}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{is}\:\mathrm{skew}−\mathrm{symmetric}. \\ $$

$$\mathrm{18}.\:\mathrm{For}\:\mathrm{any}\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} \right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{symmetric} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{A}}−\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} \right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{skew}−\mathrm{symmetric} \\ $$

$$\mathrm{19}.\:\mathrm{Matrix}\:\mathrm{multiplication}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{commutative}\:\mathrm{is}\:\mathrm{general}. \\ $$

$$\mathrm{20}.\:\mathrm{Matrix}\:\mathrm{multiplication}\:\mathrm{is}\:\mathrm{associative}. \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{AB}}\right)\boldsymbol{{C}}=\boldsymbol{{A}}\left(\boldsymbol{{BC}}\right) \\ $$

$$\mathrm{21}.\:\mathrm{Multiplication}\:\mathrm{distributes}\:\mathrm{addition}. \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{A}}\left(\boldsymbol{{B}}+\boldsymbol{{C}}\right)=\boldsymbol{{AB}}+\boldsymbol{{AC}} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{A}}+\boldsymbol{{B}}\right)\boldsymbol{{C}}=\boldsymbol{{AC}}+\boldsymbol{{BC}} \\ $$

$$\mathrm{22}.\:\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:{m}×{n}\:\mathrm{matrix} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{AI}}_{{n}} =\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{I}}_{{m}} \boldsymbol{{A}}=\boldsymbol{{A}} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{wherw}\:\boldsymbol{{I}}_{{n}} \:\mathrm{identity}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:{n}. \\ $$

$$\mathrm{23}.\:\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{and}\:\boldsymbol{{O}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{null}\:\mathrm{matrix}, \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{A}}_{{m}×{n}} \boldsymbol{{O}}_{{n}×{p}} =\boldsymbol{{O}}_{{m}×{p}} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{O}}_{{p}×{m}} \boldsymbol{{A}}_{{m}×{n}} =\boldsymbol{{O}}_{{p}×{n}} \\ $$

$$\mathrm{24}.\:\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{and}\:\boldsymbol{{B}}\:\mathrm{are}\:\mathrm{two}\:\mathrm{matrices}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{AB}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{then} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{{AB}}\right)^{\mathrm{T}} =\boldsymbol{{B}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} \\ $$

$$\mathrm{25}.\:\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{and}\:\boldsymbol{{B}}\:\mathrm{are}\:\mathrm{two}\:\mathrm{matrices}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{AB}}\:\mathrm{is}\:\:\mathrm{defined}\:\:\mathrm{then} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{A}}\left(−\boldsymbol{{B}}\right)=−\left(\boldsymbol{{AB}}\right) \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(−\boldsymbol{{A}}\right)\left(\boldsymbol{{B}}\right)=−\left(\boldsymbol{{AB}}\right) \\ $$

$$\mathrm{26}.\:\boldsymbol{{A}}\left(\boldsymbol{{B}}−\boldsymbol{{C}}\right)=\boldsymbol{{AB}}−\boldsymbol{{AC}} \\ $$

Determinants

$$\mathrm{Corresponding}\:\mathrm{to}\:\mathrm{each}\:\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix}\: \\ $$

$$\begin{bmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{1}{n}} }\\{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{{a}_{{n}\mathrm{1}} }&{\ldots}&{{a}_{{nn}} }\end{bmatrix} \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}=\left[{a}_{{ij}} \right]\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{associated}\:\mathrm{an}\:\mathrm{expression} \\ $$

$$\mathrm{called}\:\mathrm{the}\:{determinant}\:{of}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{denoted}\:\mathrm{by} \\ $$

$$\mathrm{det}\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{or}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid,\:\mathrm{written}\:\mathrm{as} \\ $$

$$\mathrm{det}\boldsymbol{{A}}=\mid\boldsymbol{{A}}\mid=\begin{vmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} }&{\ldots}&{{a}_{\mathrm{1}{n}} }\\{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{{a}_{{n}\mathrm{1}} }&{\ldots}&{{a}_{{nn}} }\end{vmatrix} \\ $$

Value of a Determinant

$$\mathrm{Value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{of}\:\mathrm{order}\:\mathrm{2} \\ $$

$$\begin{vmatrix}{{a}_{\mathrm{11}} }&{{a}_{\mathrm{12}} }\\{{a}_{\mathrm{21}} }&{{a}_{\mathrm{22}} }\end{vmatrix}=\left({a}_{\mathrm{11}} {a}_{\mathrm{22}} −{a}_{\mathrm{12}} {a}_{\mathrm{21}} \right) \\ $$

$$\mathrm{Minor}\:\mathrm{of}\:{a}_{{ij}} \:\mathrm{in}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid \\ $$

$$\mathrm{The}\:\mathrm{minor}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{element}\:{a}_{{ij}} \:\mathrm{in}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined} \\ $$

$$\mathrm{as}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{obtained}\:\mathrm{by} \\ $$

$$\mathrm{deleting}\:{i}\mathrm{th}\:\mathrm{row}\:\mathrm{and}\:{j}\mathrm{th}\:\mathrm{column}\:\mathrm{of}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid, \\ $$

$$\mathrm{and}\:\mathrm{is}\:\mathrm{denoted}\:\mathrm{by}\:{M}_{{ij}} . \\ $$

$$\mathrm{Co}−\mathrm{factor}\:\mathrm{of}\:{a}_{{ij}} \:\mathrm{in}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid \\ $$

$$\mathrm{The}\:\mathrm{co}−\mathrm{factor}\:{C}_{{ij}} \:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{element}\:{a}_{{ij}} \:\mathrm{is} \\ $$

$$\mathrm{defined}\:\mathrm{as}\:{C}_{{ij}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{i}+{j}} \centerdot{M}_{{ij}} \\ $$

$$\mathrm{Value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{determinant} \\ $$

$$\mathrm{The}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of} \\ $$

$$\mathrm{the}\:\mathrm{products}\:\mathrm{of}\:\mathrm{element}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{row}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{column}\right) \\ $$

$$\mathrm{with}\:\mathrm{their}\:\mathrm{corresponding}\:\mathrm{co}−\mathrm{factors}. \\ $$

$$\mathrm{A}\:\mathrm{determinant}\:\:\mathrm{may}\:\mathrm{be}\:\mathrm{expanded}\:\mathrm{by} \\ $$

$$\mathrm{arbitarily}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{row}\:\mathrm{or}\:\mathrm{column}. \\ $$

$$\mathrm{Expansion}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{or}\:\mathrm{order}\:{n} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Expansion}\:\mathrm{by}\:{i}\mathrm{th}\:\mathrm{row} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{det}\boldsymbol{{A}}=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{ij}} {C}_{{ij}} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Expansion}\:\mathrm{by}\:{j}\mathrm{th}\:\mathrm{column} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{det}\boldsymbol{{A}}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{a}_{{ij}} {C}_{{ij}} \\ $$

Properties of Determinants

$$\mathrm{1}.\:\mathrm{The}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{remains} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{unchanged}\:\mathrm{if}\:\mathrm{its}\:\mathrm{row}\:\mathrm{and}\:\mathrm{columns}\:\mathrm{are} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{interchanged}. \\ $$

$$\mathrm{2}.\:\:\mathrm{If}\:\mathrm{two}\:\mathrm{rows}\:\mathrm{or}\:\mathrm{columns}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{are}\: \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{interchanged},\:\mathrm{the}\:\mathrm{sign}\:\mathrm{of}\:\mathrm{determinant} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{changed}\:\mathrm{but}\:\mathrm{the}\:\mathrm{absolute}\:\mathrm{value}\: \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{remains}\:\mathrm{same}. \\ $$

$$\mathrm{3}.\:\:\:\mathrm{If}\:\mathrm{two}\:\mathrm{rows}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{two}\:\mathrm{columns}\right)\:\mathrm{are} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{identical},\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{determinant} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{0}. \\ $$

$$\mathrm{4}.\:\:\:\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{element}\:\mathrm{of}\:\mathrm{any}\:\mathrm{row}\:\mathrm{or}\:\mathrm{column} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{multiplied}\:\mathrm{by}\:\mathrm{a}\:\mathrm{common}\:\mathrm{factor}, \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{is}\:\mathrm{multiplied}\:\mathrm{by} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{that}\:\mathrm{factor}. \\ $$

$$\mathrm{5}.\:\:\:\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{of}\:\mathrm{any}\:\mathrm{row}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{column}\right) \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{increased}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{decreased}\right)\:\mathrm{by}\:\mathrm{equal} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{multiples}\:\mathrm{or}\:\mathrm{corresponding}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{of} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{any}\:\mathrm{other}\:\mathrm{row}\:\left(\mathrm{or}\:\mathrm{column}\right),\:\mathrm{the}\:\mathrm{value} \\ $$

$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{determinant}\:\mathrm{is}\:\mathrm{unchanged}. \\ $$

Adjoint of a Matrix

$$\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{square}\:{n}×{n}\:\mathrm{matrix},\:\mathrm{its}\:\mathrm{adjoint}, \\ $$

$$\mathrm{denoted}\:\mathrm{by}\:\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}},\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{transpose}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$

$$\mathrm{matrix}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{if}\:\mathrm{cofactors}\:{C}_{{ij}} \:\mathrm{of}\:\boldsymbol{{A}}. \\ $$

$$\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}=\left[{C}_{{ij}} \right]^{\mathrm{T}} \\ $$

Inverse of a Matrix

$$\mathrm{If}\:\boldsymbol{{A}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{square}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}\:\mathrm{nonsingular} \\ $$

$$\mid\boldsymbol{{A}}\mid\:\mathrm{then}\:\mathrm{its}\:\mathrm{inverse}\:\boldsymbol{{A}}^{−\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{given}\:\mathrm{by}: \\ $$

$$\boldsymbol{{A}}^{−\mathrm{1}} =\:\frac{\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}}{\mathrm{det}\boldsymbol{{A}}} \\ $$

$$\mathrm{If}\:\mathrm{matrix}\:\mathrm{product}\:\boldsymbol{{AB}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{then} \\ $$

$$\left(\boldsymbol{{AB}}\right)^{−\mathrm{1}} =\boldsymbol{{B}}^{−\mathrm{1}} \boldsymbol{{A}}^{−\mathrm{1}} \\ $$

Invertible Matrix

$$\mathrm{1}.\:\boldsymbol{{AA}}^{−\mathrm{1}} =\boldsymbol{{A}}^{−\mathrm{1}} \boldsymbol{{A}}=\boldsymbol{{I}} \\ $$

$$\mathrm{2}.\:\boldsymbol{{AB}}=\boldsymbol{{AC}}\Rightarrow\boldsymbol{{B}}=\boldsymbol{{C}},\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid\neq\mathrm{0} \\ $$

$$\mathrm{3}.\:\left(\boldsymbol{{AB}}\right)^{−\mathrm{1}} =\boldsymbol{{B}}^{−\mathrm{1}} \boldsymbol{{A}}^{−\mathrm{1}} ,\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid,\mid\boldsymbol{{B}}\mid\neq\mathrm{0} \\ $$

$$\mathrm{4}.\:\left(\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} \right)^{−\mathrm{1}} =\left(\boldsymbol{{A}}^{−\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{T}} ,\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid\neq\mathrm{0},\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid\neq\mathrm{0} \\ $$

$$\mathrm{5}.\:\mathrm{adj}\left(\boldsymbol{{AB}}\right)=\left(\mathrm{adj}\boldsymbol{{B}}\right)\left(\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}\right),\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid,\mid\boldsymbol{{B}}\mid\neq\mathrm{0} \\ $$

$$\mathrm{6}.\:\left(\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}\right)^{\mathrm{T}} =\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}^{\mathrm{T}} ,\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid\neq\mathrm{0} \\ $$

$$\mathrm{7}.\:\mid\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}\mid=\mid\boldsymbol{{A}}\mid^{{n}−\mathrm{1}} ,\:\mathrm{if}\:\mid\boldsymbol{{A}}\mid\neq\mathrm{0} \\ $$

$$\mathrm{8}.\:\mathrm{adj}\left(\mathrm{adj}\boldsymbol{{A}}\right)=\mid\boldsymbol{{A}}\mid^{{n}−\mathrm{2}} \boldsymbol{{A}} \\ $$

Elementary Row and Column Transformation of a Matrix

The following are three elementary transformation of a matrix $R_n$ indicates $nth$ row.

Interchange of any Two Rows or Two Columns ($R_m = R_n, R_n = R_m$ or $C_m = C_n, C_n = C_m$)
Multiplication of Row or Column by a Non-zero Number ($R_n=kR_n$ or $C_n=kC_n$ )
Multiplication of Row or Column by a Non-zero Number and Add the Result to the Other Row or Column ($R_n=R_n+kR_m$ or $C_n=C_n+kC_m$)

Row Echelon Form

Specifically, a matrix is in row echelon form if

All rows consisting of only zeroes are at the bottom
The leading entry (that is the left-most nonzero entry) of every nonzero row is to the right of the leading entry of every row above

Reduced Row Echelon Form

A matrix is in reduced row echelon form (also called row canonical form) if it satisfies the following conditions

It is in row echelon form.
The leading entry in each nonzero row is a 1 (called a leading 1).
Each column containing a leading 1 has zeros in all its other entries.

A matrix can be reduced to row echelon form by perform elementary row transformation of the matrix.

Linear Independence

Row $R_1, R_2, …, R_n$ with same number of columns are linearly independent if

$a_1R_1+a_2R_2+…+a_nR_n=R_0$, implies that $a_i=0$ for $i=1,2,…n$, $R_0$ is row with all columns with values 0.

Columns $C_1, C_2, …, C_n$ with same number of rows are linearly independent if

$a_1C_1+a_2C_2+…+a_nC_n=C_0$, implies that $a_i=0$ for $i=1,2,…n$, $C_0$ is column with all row with values 0.

Vectors $v_1, v_2, …, v_n$ with same number of dimensions are linearly independent if

$a_1v_1+a_2v_2+…+a_nv_n=0$, implies that $a_i=0$ for $i=1,2,…n$

Rank of a Matrix

The maximum number of linearly independent columns (or rows) of a matrix is called the rank of a matrix. The rank of a matrix cannot exceed the number of its rows or columns.

Row Echelon Method: A number of non-zero is rows in row echelon gives the rank of a matrix.

Minor Method: If the rank of matrix A is r, then there exists at least one minor of order r which does not vanish. Every minor of matrix A of order (r + 1) and higher-order (if any) vanishes.

Problems in Matrices and Determinants

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