# Question and Answers Forum

Integration Questions

Question Number 604 by 123456 last updated on 09/Feb/15

$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{+\mathrm{1}} {\int}}\left(\underset{−\mathrm{1}} {\overset{+\mathrm{1}} {\int}}\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{4}} {y}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}}{dx}\right){dy} \\$$

Answered by prakash jain last updated on 15/Feb/15

$$\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{4}} {y}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} {y}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{4}} {y}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} {y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}−{y}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}} \\$$ $$=\frac{{x}^{\mathrm{2}} {y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}\right)+{y}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}\right)+\left(\mathrm{1}−{y}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}} \\$$ $$={x}^{\mathrm{2}} {y}^{\mathrm{2}} +{y}+\frac{\mathrm{1}−{y}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} {y}} \\$$ $$\mathrm{Integrate}\:\mathrm{wrt}\:{x} \\$$ $$\frac{{y}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+{xy}+\frac{\mathrm{1}−{y}}{\sqrt{{y}}}\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left({x}\sqrt{{y}}\right) \\$$ $$\mathrm{putting}\:\mathrm{limits} \\$$ $$=\frac{\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}−{y}}{\sqrt{{y}}}\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{y}}\right) \\$$ $$\mathrm{I1} \\$$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}{dy}=\left[\frac{\mathrm{2}{y}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{9}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}} \\$$ $$\mathrm{I2} \\$$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{2}{y}\:{dy}=\left[{y}^{\mathrm{2}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\$$ $$\mathrm{I3} \\$$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{2}\frac{\mathrm{1}−{y}}{\sqrt{{y}}}\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{y}}\right){dy} \\$$ $${y}={u}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow{dy}=\mathrm{2}{udu} \\$$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{2}\frac{\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} }{{u}}\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} {u}\:\mathrm{2}{udu} \\$$ $$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{u}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} {u}\:{du} \\$$ $$=\mathrm{4}\left[\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\right] \\$$ $$=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\$$ $$\mathrm{Final}\:\mathrm{Answer} \\$$ $$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\$$ $$=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}+\mathrm{9}−\mathrm{6}}{\mathrm{9}}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\:\mathrm{2}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{9}} \\$$