Integration Questions

Question Number 117638 by bemath last updated on 13/Oct/20

$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{12}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{9}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{dx}\:=?\: \\$$

Answered by john santu last updated on 13/Oct/20

$${I}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{12}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{9}} }{\left({x}^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{1}+{x}^{−\mathrm{2}} +{x}^{−\mathrm{5}} \right)\right)^{\mathrm{3}} }\:{dx}\: \\$$ $${I}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{12}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{9}} }{{x}^{\mathrm{15}} \left(\mathrm{1}+{x}^{−\mathrm{2}} +{x}^{−\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{3}} }\:{dx} \\$$ $${I}=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{2}{x}^{−\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{−\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{1}+{x}^{−\mathrm{2}} +{x}^{−\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{3}} }\:{dx} \\$$ $${Letting}\:\psi=\mathrm{1}+{x}^{−\mathrm{2}} +{x}^{−\mathrm{5}} \:\rightarrow{d}\psi=−\mathrm{2}{x}^{−\mathrm{3}} −\mathrm{5}{x}^{−\mathrm{6}} \:{dx} \\$$ $${I}=\underset{{b}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{b}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\:\frac{−{d}\psi}{\psi^{\mathrm{3}} }\:=\:−\underset{{b}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{{b}} {\overset{\mathrm{3}} {\int}}\:\psi^{−\mathrm{3}} \:{d}\psi \\$$ $${I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{b}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\psi^{\mathrm{2}} }\:\right]_{{b}} ^{\mathrm{3}} =\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\:−\mathrm{0}\:\right]\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{18}} \\$$

Commented bybemath last updated on 13/Oct/20

$$\mathrm{gave}\:\mathrm{kudos} \\$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Oct/20

$$\mathrm{Put}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\Rightarrow\mathrm{I}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{12}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{9}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{dx}\:= \\$$ $$=\int_{\infty} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{12}} }+\mathrm{5}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{9}} }}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }×−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\$$ $$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{t}\left(\mathrm{2}+\mathrm{5t}^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{15}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dt}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{5t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dt} \\$$ $$\mathrm{Put}\:\mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{du}=\left(\mathrm{5t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{I}=\int_{\mathrm{3}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2u}^{\mathrm{2}} }\mid_{\mathrm{3}} ^{\infty} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{18}} \\$$