Question Number 206340 by mnjuly1970 last updated on 12/Apr/24
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\:{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\:\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\:\right)}{{x}}{dx}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\Omega_{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{find}\::\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\:{n}\:\Omega_{{n}} \:=\:? \\ $$
Answered by sniper237 last updated on 12/Apr/24
![(1/(1+x))=Σ_(n≥0) (−x)^n ⇒ ln(1+x)=Σ_(n≥1 ) (((−1)^n x^n )/n) So Ω_n = (((−1)^n )/n) ∫_0 ^1 x^(n−1) ln(1−x)dx V=ln(1−x) V ′= (1/(x−1)) U ′=x^(n−1) U=(−1)^(n ) ((x^n −1)/n) nΩ_n = [UV]_0 ^(λ→1) −(((−1)^n )/n)∫_0 ^1 (1+x+...+x^(n−1) )dx = Σ_(k=1) ^n (((−1)^(n+1) )/(nk))](Q206350.png)
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(−{x}\right)^{{n}} \:\Rightarrow\:{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}\:} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}} }{{n}} \\ $$$${So}\:\:\Omega_{{n}} =\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$${V}={ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:\:{V}\:'=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\:\:{U}\:'={x}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:{U}=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}\:} \frac{{x}^{{n}} −\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$${n}\Omega_{{n}} =\:\left[{UV}\right]_{\mathrm{0}} ^{\lambda\rightarrow\mathrm{1}} −\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+{x}+...+{x}^{{n}−\mathrm{1}} \right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{nk}}\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by Mathspace last updated on 12/Apr/24
![ln^′ (1+x)=(1/(1+x))=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n ⇒ln(1+x)=Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n x^(n+1) )/(n+1))+c(c=0) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)x^n ⇒((ln(1+x))/x)=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)x^(n−1) ⇒∫_0 ^1 ((ln(1−x)ln(1+x))/x)dx =∫_0 ^1 (Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)x^(n−1) )lnx dx =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)∫_0 ^1 x^(n−1) lnx dx by parts u_n =∫_0 ^1 x^(n−1) lnx =[(x^n /n)lnx]_0 ^1 −∫_0 ^1 (x^n /n)(dx/x) =−(1/n)∫_0 ^1 x^(n−1) dx=−(1/n)[(x^n /n)]_0 ^1 =−(1/n^2 ) ⇒ I=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)(−(1/n^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^3 ) ⇒℧_n =(((−1)^(n−1) )/n^3 ) and Σ_(n=1) ^∞ n℧_n =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^2 ) =−Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =−δ(2)=−(2^(1−2) −1)ξ(2) =(1/2)×(π^2 /6)=(π^2 /(12)) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ n℧_n =(π^2 /(12))](Q206354.png)
$${ln}^{'} \left(\mathrm{1}+{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}+{c}\left({c}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}{x}^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} \right){lnx}\:{dx} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {lnx}\:{dx} \\ $$$${by}\:{parts}\:{u}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {lnx} \\ $$$$=\left[\frac{{x}^{{n}} }{{n}}{lnx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{n}} }{{n}}\frac{{dx}}{{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx}=−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left[\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${I}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mho_{{n}} =\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$${and}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {n}\mho_{{n}} =\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\delta\left(\mathrm{2}\right)=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {n}\mho_{{n}} =\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$
Commented by sniper237 last updated on 13/Apr/24
$${u}_{{n}} \overset{?} {=}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}\:\overset{\rightarrow\mathrm{1}−{x}} {=}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {lnxdx} \\ $$