Integration Questions

Question Number 96034 by  M±th+et+s last updated on 29/May/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{10}} +\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\pi\phi}{\mathrm{5}} \\$$

Commented by M±th+et+s last updated on 30/May/20

$${thanks}\:{for}\:{solutions} \\$$

Answered by abdomathmax last updated on 29/May/20

$$\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}^{\mathrm{10}} \:=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}} \\$$ $$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{10}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}×\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{10}}\right)} \\$$ $$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{10}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{5}}\right)}{\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}} \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{10}}\right)\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow \\$$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{10}} }\:=\frac{\pi}{\mathrm{10}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{2}}}×\sqrt{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}} \\$$ $$\\$$ $$\mathrm{cos}\left(\right. \\$$

Answered by Sourav mridha last updated on 29/May/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{substitute}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \right)\:\mathrm{by}\:\mathrm{tan}\:\Phi \\$$ $$\mathrm{and}\:\mathrm{after}\:\mathrm{little}\:\mathrm{manipulation}\:\mathrm{you}\:\mathrm{get} \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}} \left(\boldsymbol{{sin}\Phi}\right)^{−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}} .\left(\mathrm{cos}\:\Phi\right)^{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}} \mathrm{d}\Phi \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right).\Gamma\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right) \\$$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\frac{\pi}{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{10}}\right)} \\$$ $$\mathrm{now}\:\mathrm{putting}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\left(\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{18}^{°} \right)\right)\: \\$$ $$=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}..\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\$$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{10}} +\mathrm{1}}\boldsymbol{{dx}}=\frac{\mathrm{2}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{5}\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{1}\right)}=\frac{\boldsymbol{\pi}\emptyset}{\mathrm{5}} \\$$