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Integration Questions

Question Number 102169 by bemath last updated on 07/Jul/20

$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}{x}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \:\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:{dx}\:? \\$$

Answered by bemath last updated on 07/Jul/20

Answered by john santu last updated on 07/Jul/20

$${I}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}{x}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \:\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:{dx}\: \\$$ $${replace}\:\mathrm{1}−{x}\:{by}\:{x}\: \\$$ $${I}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \:\sqrt{{x}}\:{dx}\: \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{2}{I}\:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\left(\:{x}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{1}−{x}}\:+\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \sqrt{{x}\:}\:\right){dx} \\$$ $$\mathrm{2}{I}=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\sqrt{{x}}\:\sqrt{\mathrm{1}−{x}\:}\:\left({x}+\mathrm{1}−{x}\right)\:{dx}\: \\$$ $${I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} }\:{dx}\: \\$$ $${I}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−{x}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:{dx} \\$$ $${I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx}\: \\$$ $${set}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}\:\Rightarrow{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{2}} }\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{dt}\right) \\$$ $${I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\sqrt{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} }\:{dt}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{16}}\:\circledast \\$$ $$\left[\:\underset{−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\sqrt{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:{dx}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pi\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\right]\: \\$$ $$\left.{the}\:{area}\:{of}\:{a}\:{half}\:{circle}\:{with}\:{radius}\:\mathrm{1}\:\right] \\$$

Answered by 1549442205 last updated on 08/Jul/20

$$\mathrm{Putting}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{1}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\mathrm{2tdt} \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} },\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }},\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{2tdt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\$$ $$\:\mathrm{F}=−\mathrm{2}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} .\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dt} \\$$ $$=−\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }=−\mathrm{2}\int\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt}=−\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{4}} } \\$$ $$\mathrm{Applying}\:\mathrm{the}\:\mathrm{current}\:\mathrm{formular}: \\$$ $$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\int\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{2n}−\mathrm{3}}{\mathrm{2n}−\mathrm{2}}.\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\$$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\$$ $$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)}.\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{2}.\mathrm{2}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}.\mathrm{3}−\mathrm{2}}\mathrm{I}_{\mathrm{2}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{I}_{\mathrm{1}} \\$$ $$=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:\mathrm{t}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\$$ $$\mathrm{I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)}.\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}.\mathrm{3}−\mathrm{2}}\mathrm{I}_{\mathrm{3}−\mathrm{1}} = \\$$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{I}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3t}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{arctan}\:\mathrm{t} \\$$ $$\mathrm{I}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{4}−\mathrm{1}\right)}.\:\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{2}.\mathrm{4}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}.\mathrm{4}−\mathrm{2}}.\mathrm{I}_{\mathrm{3}} = \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}.\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}.\mathrm{I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{6}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{5t}}{\mathrm{24}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{5t}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}\mathrm{arctan}\:\mathrm{t} \\$$ $$\mathrm{We}\:\mathrm{get}\:\mathrm{F}=\mathrm{2}\left(\mathrm{I}_{\mathrm{4}} −\mathrm{I}_{\mathrm{3}} \right)=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{12}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{arctan}\:\mathrm{t}}{\mathrm{8}} \\$$ $$\boldsymbol{\mathrm{Hence}},\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \boldsymbol{\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \sqrt{\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{x}}}\boldsymbol{\mathrm{dx}}=\boldsymbol{\mathrm{F}}\left(\infty\right)−\boldsymbol{\mathrm{F}}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{16}}−\mathrm{0}=\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{16}} \\$$

Commented bymathmax by abdo last updated on 07/Jul/20

$$\mathrm{the}\:\mathrm{functin}\:\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{is}\:\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{on}\:\left[\mathrm{0},\mathrm{1}\right]\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\geqslant\mathrm{0}\:...! \\$$

Commented by1549442205 last updated on 08/Jul/20

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\mathrm{I}\:\mathrm{shall}\:\mathrm{check}\:\mathrm{again}\:\mathrm{later}. \\$$ $$\mathrm{Now}\:\mathrm{I}\:\mathrm{corrected} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/20

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{give} \\$$ $$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \theta\:\mathrm{cos}\theta\:\left(\mathrm{2sin}\theta\mathrm{cos}\theta\right)\mathrm{d}\theta \\$$ $$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \theta\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{d}\theta\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{B}\left(\mathrm{p},\mathrm{q}\right)\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2p}−\mathrm{1}} \theta\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2q}−\mathrm{1}} \theta\:\mathrm{d}\theta \\$$ $$\mathrm{2p}−\mathrm{1}\:=\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{p}\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{2q}−\mathrm{1}\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{q}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\:\:\Rightarrow \\$$ $$\mathrm{I}\:=\mathrm{B}\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right).\Gamma\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:=\frac{\Gamma\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\Gamma\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{4}\right)} \\$$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\Gamma\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{x}\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\Gamma\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\:=\Gamma\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) \\$$ $$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}!}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}×\mathrm{3}!}\left(\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\$$ $$\Gamma\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\Rightarrow\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} }{\sqrt{\mathrm{t}}}\mathrm{dt}\:=_{\sqrt{\mathrm{t}}=\mathrm{u}} \\$$ $$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{u}}\left(\mathrm{2u}\right)\mathrm{du}\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \mathrm{du}\:=\mathrm{2}×\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{16}} \\$$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 07/Jul/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \sqrt{{x}}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left({x}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} }{{x}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right)\sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} } \\$$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right)\sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{0}\right) \\$$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx}=\left[\frac{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}{sin}^{−\mathrm{1}} \left[\frac{{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$ $$=\mathrm{0}−\frac{\pi}{\mathrm{32}}+\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{32}}=\frac{\pi}{\mathrm{16}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{{Note}:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right)\sqrt{{x}−{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\right. \\$$