Integration Questions

Question Number 133305 by liberty last updated on 21/Feb/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sin}\:\mathrm{2x}}\:=? \\$$

Answered by physicstutes last updated on 21/Feb/21

$$\mathrm{set}\:{t}\:=\:\mathrm{tan}\:{x} \\$$ $$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{1}+\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {x}}\:\:=\:\frac{\mathrm{2}{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} } \\$$ $${dt}\:=\:\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} {x}\:{dx}\:\:\Rightarrow\:{dt}\:=\:\left(\mathrm{1}\:+\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {x}\right){dx}\:=\:\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right){dx} \\$$ $$\mathrm{or}\:{dx}\:=\:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} } \\$$ $$\:\mathcal{I}\:=\:\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}+\frac{\mathrm{6}{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}\:.\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:=\:\int\frac{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}+\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{t}}\:.\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\:=\:\int\frac{{dt}}{\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{t}+\mathrm{5}}\: \\$$ $$\:\mathcal{I}\:=\:\int\frac{{dt}}{\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{t}+\mathrm{5}}\:\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\$$

Commented byDwaipayan Shikari last updated on 21/Feb/21

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\int\frac{{dt}}{\left({t}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{t}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}}{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{5}{t}+\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+{C} \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{5}{tanx}+\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+{C} \\$$

Answered by MJS_new last updated on 21/Feb/21

$$=\mathrm{4}\underset{\pi/\mathrm{4}} {\overset{\mathrm{3}\pi/\mathrm{4}} {\int}}\frac{{dx}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sin}\:\mathrm{2}{x}}= \\$$ $$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}+\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dt}\right] \\$$ $$=−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\underset{−\mathrm{2}/\mathrm{5}} {\int}^{\mathrm{8}/\mathrm{5}} \frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}/\mathrm{25}}= \\$$ $$=−\left[\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{5}{t}}{\mathrm{4}}\right]_{−\mathrm{2}/\mathrm{5}} ^{\mathrm{8}/\mathrm{5}} =\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\$$

Commented byliberty last updated on 22/Feb/21

$$\mathrm{yes}....\mathrm{correct} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Feb/21

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sin}\left(\mathrm{2x}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=_{\mathrm{2x}=\mathrm{t}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{5}+\mathrm{3sint}\right)} \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{2I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sint}}\:+\int_{\mathrm{2}\pi} ^{\mathrm{4}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sint}}\left(\mathrm{t}=\mathrm{2}\pi+\mathrm{u}\right) \\$$ $$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sint}}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sinu}}\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sint}}\:\Rightarrow \\$$ $$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{5}+\mathrm{3sint}}\:=_{\mathrm{z}=\mathrm{e}^{\mathrm{it}} } \:\:\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}\left(\mathrm{5}+\mathrm{3}\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2i}}\right)} \\$$ $$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{2idz}}{\mathrm{iz}\left(\mathrm{10i}+\mathrm{3z}−\mathrm{3z}^{−\mathrm{1}} \right)}\:=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2dz}}{\mathrm{10iz}+\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}}\:=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{2dz}}{\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{10iz}−\mathrm{3}} \\$$ $$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{10iz}−\mathrm{3}} \\$$ $$\Delta^{'} \:=\left(\mathrm{5i}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}\:=\mathrm{9}−\mathrm{25}\:=−\mathrm{16}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{5i}+\mathrm{4i}}{\mathrm{3}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{i} \\$$ $$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{5i}−\mathrm{4i}}{\mathrm{3}}\:=−\mathrm{3i}\:\Rightarrow\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid>\mathrm{1}\:\left(\mathrm{out}\:\right)\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\$$ $$\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\$$ $$=\frac{\mathrm{4i}\pi}{\mathrm{3}.\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{i}−\mathrm{3i}\right)}\:=\frac{\mathrm{4i}\pi}{−\mathrm{i}−\mathrm{9i}}\:=\frac{\mathrm{4i}\pi}{−\mathrm{10i}}\:=−\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{10}}\:=−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow \\$$ $$\mathrm{I}\:=−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}} \\$$