Integration Questions

Question Number 104312 by Ar Brandon last updated on 20/Jul/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{\sqrt{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{2}}}{\mathrm{sin}\theta}\mathrm{d}\theta \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jul/20

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{2}}}{\mathrm{sin}\theta}\mathrm{d}\theta\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\mathrm{sin}\theta\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta}}}{\mathrm{sin}\theta}\mathrm{d}\theta\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta}}\mathrm{d}\theta \\$$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta}\:\Rightarrow\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}\:\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta} \\$$ $$=\frac{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta}\:=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}\:\Rightarrow \\$$ $$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2tan}^{\mathrm{2}} \theta}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}}\mathrm{d}\theta\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \sqrt{\frac{\mathrm{3tan}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{2}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta}}\mathrm{d}\theta\:\:=_{\mathrm{tan}\theta\:=\mathrm{x}} \\$$ $$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sqrt{\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:\:=\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx} \\$$ $$\mathrm{cha7gement}\:\mathrm{x}\:=\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\mathrm{shu}\:\mathrm{give}\:\mathrm{u}\:=\mathrm{argsh}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\mathrm{x}\right) \\$$ $$\mathrm{I}\:=\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{arhsh}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\right)} \:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{chu}}{\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{u}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)}×\sqrt{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\$$ $$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{ln}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}}\right)} \:\:\:\frac{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}{\mathrm{shu}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)}\mathrm{du}\:\:\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{this}\:\mathrm{integral}\:\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{solved} \\$$ $$...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\$$

Commented byAr Brandon last updated on 21/Jul/20

wow wow wow ! superb. Thanks so much ��

Commented byAr Brandon last updated on 21/Jul/20

$$\\$$ $$\\$$ $$\frac{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}{\mathrm{shu}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}{\mathrm{shu}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)} \\$$ $$\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{at}+\mathrm{b}}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{t}}=\frac{\left(\mathrm{at}+\mathrm{b}\right)\mathrm{t}+\mathrm{c}\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)} \\$$ $$\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\:,\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:\mathrm{a}+\mathrm{2c}=\mathrm{1},\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\:\mathrm{b}=\mathrm{0} \\$$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}{\mathrm{shu}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)}=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{shu}}{\mathrm{3}+\mathrm{2sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}+\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{shu}} \\$$ $$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}{\mathrm{shu}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2sh}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}\right)}\mathrm{du}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left\{\int\frac{\mathrm{shu}\:\mathrm{du}}{\mathrm{3}+\mathrm{2ch}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}+\int\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{shu}}\right\} \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{chu}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{2ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}+\int\frac{\mathrm{shu}\:\mathrm{du}}{\mathrm{ch}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}−\mathrm{1}}\right\} \\$$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{Arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{chu}\right)−\mathrm{Arctanh}\left(\mathrm{chu}\right)\right\} \\$$ $$\\$$