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Integration Questions

Question Number 130485 by benjo_mathlover last updated on 26/Jan/21

$$\:\digamma\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} {x}^{\mathrm{5}\:} \mathrm{ln}\:\left({x}\right)\mathrm{cos}\:\left({x}\right){e}^{−{x}} \:{dx}\:? \\$$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 26/Jan/21

$${I}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {x}^{{a}} {cosxe}^{−{x}} {dx}=\frac{\Gamma\left({a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\frac{{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left({a}+\mathrm{1}\right)\right) \\$$ $${I}'\left({a}\right)=\frac{\Gamma'\left({a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\frac{{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left({a}+\mathrm{1}\right)\right)−\frac{\pi\Gamma\left({a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}.\mathrm{2}^{\frac{{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left({a}+\mathrm{1}\right)\right)−\frac{{log}\mathrm{2}}{\mathrm{2}}.\frac{\Gamma\left({a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\frac{{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left({a}+\mathrm{1}\right)\right) \\$$ $${I}'\left(\mathrm{5}\right)=\frac{−\pi.\mathrm{5}!}{\mathrm{4}.\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }{sin}\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{30}\pi}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{15}\pi}{\mathrm{4}} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21

$$\mathrm{F}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cosx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{x}^{\mathrm{a}} \mathrm{cosx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\$$ $$\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{\mathrm{ix}−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\$$ $$=_{\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\mathrm{x}=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}\right)^{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{a}+\mathrm{1}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\$$ $$=\Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{\mathrm{a}+\mathrm{1}} }\:=\frac{\Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\pi} \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\right)\:\:\:\left(\mathrm{a}>−\mathrm{1}\right) \\$$ $$\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{alnx}} \:\mathrm{cosx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{F}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{lnx}\:.\mathrm{x}^{\mathrm{a}} \:\mathrm{cosx}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\$$ $$\Rightarrow\mathrm{F}\:=\mathrm{F}^{'} \left(\mathrm{5}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\$$ $$\mathrm{F}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{2}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{a}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\:\Rightarrow \\$$ $$\mathrm{F}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\left(\mathrm{2}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\right)^{'} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{4}}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{2}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{4}}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\$$ $$\mathrm{2}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)} \:\Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\$$ $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{da}}\left(...\right)=−\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}.\mathrm{2}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} .\Gamma\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \Gamma^{'} \left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)=.... \\$$ $$\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\$$

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