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Question Number 104771 by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/20
![let f(x) =x^3 +x−3 1) prove that f have one root real α_0 and α_0 ∈ ]1,2[ 2) factorize f(x) inside R[x] and C[x] 3 ) find ∫ (dx/(f(x)))](Q104771.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{x}−\mathrm{3} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\left.\right)\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}\:\mathrm{have}\:\mathrm{one}\:\mathrm{root}\:\mathrm{real}\:\alpha_{\mathrm{0}} \:\:\:\mathrm{and}\:\alpha_{\mathrm{0}} \:\in\:\right]\mathrm{1},\mathrm{2}\left[\right. \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{factorize}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{inside}\:\mathrm{R}\left[\mathrm{x}\right]\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}\left[\mathrm{x}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{3}\:\right)\:\mathrm{find}\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$
Answered by abdomathmax last updated on 24/Jul/20
![1) f continue and f^′ (x)=3x^2 +1>0 ⇒f is increazing we have f(1) =−1 and f(2) =8+2−3 =7 ⇒ f(1).f(2)<0 ⇒∃α_0 ∈]1,2[ unique /f(α_0 )=0 2)f(x) =(x−α_0 )(x^2 +ax +b) ⇒ x^3 +ax^2 +bx−α_0 x^2 −α_o a x−bα_0 =x^3 +x−3 ⇒ (a−α_0 )x^2 +(b−α_o a)x −bα_0 =x−3 ⇒ { ((a−α_0 =0)),((b−α_0 a =1 and −bα_0 =−3 ⇒)) :} a =α_0 and b =(3/α_0 ) f(x) =(x−α_0 )(x^2 +α_0 x +(3/α_0 )) this is tbe factoruzation at R[x] x^2 +α_0 x +(3/α_0 ) =0 →Δ =α_0 ^2 −((12)/α_0 ) =((α_0 ^3 −12)/α_0 ) =((−α_o +3−12)/α_0 ) =−((α_0 +9)/α_0 ) ⇒z_1 =−α_0 +i(√((α_0 +9)/α_0 )) z_2 =−α_0 −i(√((α_0 +9)/α_0 )) and f(x) =(x−α_0 )(x−z_1 )(x−z_2 ) =(x−α_0 )(x+α_0 −i(√((α_0 +9)/α_0 )))(x+α_0 +i(√((α_0 +9)/α_0 )))](Q104925.png)
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{f}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{increazing} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\:=\mathrm{8}+\mathrm{2}−\mathrm{3}\:=\mathrm{7}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\left.\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\exists\alpha_{\mathrm{0}} \:\in\right]\mathrm{1},\mathrm{2}\left[\:\mathrm{unique}\:/\mathrm{f}\left(\alpha_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}−\alpha_{\mathrm{0}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ax}\:+\mathrm{b}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}−\alpha_{\mathrm{0}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\alpha_{\mathrm{o}} \mathrm{a}\:\mathrm{x}−\mathrm{b}\alpha_{\mathrm{0}} \:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{x}−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}−\alpha_{\mathrm{0}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{b}−\alpha_{\mathrm{o}} \mathrm{a}\right)\mathrm{x}\:−\mathrm{b}\alpha_{\mathrm{0}} =\mathrm{x}−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}−\alpha_{\mathrm{0}} =\mathrm{0}}\\{\mathrm{b}−\alpha_{\mathrm{0}} \mathrm{a}\:=\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{and}\:−\mathrm{b}\alpha_{\mathrm{0}} \:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\alpha_{\mathrm{0}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{3}}{\alpha_{\mathrm{0}} } \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}−\alpha_{\mathrm{0}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\alpha_{\mathrm{0}} \mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{3}}{\alpha_{\mathrm{0}} }\right)\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{tbe}\:\mathrm{factoruzation} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{R}\left[\mathrm{x}\right] \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\alpha_{\mathrm{0}} \mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{3}}{\alpha_{\mathrm{0}} }\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta\:=\alpha_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{12}}{\alpha_{\mathrm{0}} }\:=\frac{\alpha_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{12}}{\alpha_{\mathrm{0}} } \\ $$$$=\frac{−\alpha_{\mathrm{o}} \:+\mathrm{3}−\mathrm{12}}{\alpha_{\mathrm{0}} }\:=−\frac{\alpha_{\mathrm{0}} +\mathrm{9}}{\alpha_{\mathrm{0}} }\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =−\alpha_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{i}\sqrt{\frac{\alpha_{\mathrm{0}} +\mathrm{9}}{\alpha_{\mathrm{0}} }} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =−\alpha_{\mathrm{0}} −\mathrm{i}\sqrt{\frac{\alpha_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{9}}{\alpha_{\mathrm{0}} }} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}−\alpha_{\mathrm{0}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\alpha_{\mathrm{0}} \right)\left(\mathrm{x}+\alpha_{\mathrm{0}} −\mathrm{i}\sqrt{\frac{\alpha_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{9}}{\alpha_{\mathrm{0}} }}\right)\left(\mathrm{x}+\alpha_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{i}\sqrt{\frac{\alpha_{\mathrm{0}} \:+\mathrm{9}}{\alpha_{\mathrm{0}} }}\right) \\ $$$$ \\ $$