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Question Number 104891 by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/20

1) decompose the fraction F(x) =(1/(x^3 (x+1)^3 )) 2) find the sum Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^3 (n+1)^3 ))

$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{the}\:\mathrm{fraction}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jul/20

1) F(x) =(1/(x^3 (x+1)^3 )) ⇒F(x) =((1/(x(3+1))))^3 =((1/x)−(1/(x+1)))^3 =(1/x^3 )−(3/(x^2 (x+1))) +(3/(x(x+1)^2 ))−(1/((x+1)^3 )) =(1/x^3 ) −(3/x)((1/x)−(1/(x+1))) +(3/(x+1))((1/x)−(1/(x+1)))−(1/((x+1)^3 )) =(1/x^3 )−(3/x^2 ) +(3/(x(x+1))) +(3/(x(x+1)))−(3/((x+1)^2 ))−(1/((x+1)^3 )) =(1/x^3 )−(3/x^2 ) +6((1/x)−(1/(x+1)))−(3/((x+1)^2 ))−(1/((x+1)^3 )) ⇒F(x) =(6/x)−(3/x^2 )+(1/x^3 )−(6/(x+1))−(3/((x+1)^2 ))−(1/((x+1)^3 ))

$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)}\right)^{\mathrm{3}} \:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 26/Jul/20

2) let S =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^3 (n+1)^3 )) ⇒S =lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k^3 (k+1)^3 )) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k^3 (k+1)^3 )) =6 Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k)−3Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k^2 ) +Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k^3 )−6Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k+1)) −3 Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+1)^2 ))−Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+1)^3 )) but we have Σ_(k=1) ^(n ) (((−1)^k )/k) →−ln2(n→+∞) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k^2 ) →Σ_(k=1) ^∞ (((−1)^k )/k^2 ) =δ(2) =(2^(1−2) −1)ξ(2) =−(1/2)×(π^2 /6) =−(π^2 /(12)) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/k^3 ) →Σ_(k=1) ^∞ (((−1)^k )/k^3 ) =δ(3) =(2^(1−3) −1)ξ(3) =−(3/4)ξ(3) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k+1)) =Σ_(k=2) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k) =Σ_(k=1) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k)−1 =−Σ_(k=1) ^(n+1 ) (((−1)^k )/k)−1 →ln(2)−1 Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+1)^2 )) =Σ_(k=2) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k^2 ) =Σ_(k=2) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k^2 ) −1 →−δ(2)−1=(π^2 /(12))−1 Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/((k+1)^3 )) =Σ_(k=2) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k^3 ) =Σ_(k=1) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k^3 )−1 →−δ(3)−1 =(3/4)ξ(3)−1 ⇒ S =−6ln(2)−3(−(π^2 /(12)))−(3/4)ξ(3)−6(ln2−1)−3((π^2 /(12))−1)+ξ(3)+1 =−12ln(2)+(π^2 /4) +(1/4)ξ(3)+6−(π^2 /4) +4 S=−12ln(2)+10 +(1/4)ξ(3)

$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{S}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\mathrm{S}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{6}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{6}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:\rightarrow−\mathrm{ln2}\left(\mathrm{n}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:=\delta\left(\mathrm{2}\right)\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:\rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:=\delta\left(\mathrm{3}\right)\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}−\mathrm{1}\:=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}\:} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}−\mathrm{1} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{1}\:\rightarrow−\delta\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\:\rightarrow−\delta\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}\:=−\mathrm{6ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}\left(\mathrm{ln2}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{1}\right)+\xi\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=−\mathrm{12ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{6}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\:+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{S}=−\mathrm{12ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{10}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$

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