Question Number 107639 by mathdave last updated on 11/Aug/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Aug/20
![I =∫_0 ^1 ((xln(x))/((1+x)^2 ))dx we have (1/(1+x)) =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n for ∣x∣<1 ⇒ −(1/((1+x)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ n(−1)^n x^(n−1) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^(n+1) x^n ⇒ (1/((1+x^2 ))) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n x^n ⇒ I =∫_0 ^1 xln(x){Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n x^n }dx =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n ∫_0 ^(1 ) x^(n+1) ln(x)dx but by parts u_n =∫_0 ^1 x^(n+1) ln(x)dx =[(1/(n+2))x^(n+2) ln(x)]_0 ^1 −∫_0 ^1 (x^(n+2) /(n+2))(dx/x) =−(1/(n+2)) ∫_0 ^1 x^(n+1) dx =−(1/((n+2)^2 )) ⇒I =−Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(−1)^n ×(1/((n+2)^2 )) =−Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ×((n+1)/((n+2)^2 )) =_(n+2 =p) −Σ_(p=2) ^∞ (−1)^(p−2) ×((p−1)/p^2 ) =−Σ_(p=2) ^∞ (−1)^p {(1/p)−(1/p^2 )} =−Σ_(p=2) ^∞ (((−1)^p )/p) +Σ_(p=2) ^∞ (((−1)^p )/p^2 ) we have Σ_(p=2) ^∞ (((−1)^p )/p) =Σ_(p=1) ^∞ (((−1)^p )/p) +1 =−ln(2)+1 Σ_(p=2) ^∞ (((−1)^p )/p^2 ) =Σ_(p=1) ^∞ (((−1)^p )/p^2 ) +1 =δ(2)+1 =(2^(1−2) −1)ξ(2)+1 =−(π^2 /(12)) +1 ⇒ I =ln(2)−1−(π^2 /(12)) +1 ⇒I =ln(2)−(π^2 /(12))](Q107646.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)\left\{\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right\}\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}\:} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{but}\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} ×\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:×\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:=_{\mathrm{n}+\mathrm{2}\:=\mathrm{p}} \:−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}−\mathrm{2}} \:×\frac{\mathrm{p}−\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}}\:+\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}}\:=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}}\:+\mathrm{1}\:=−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} }{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}\:=\delta\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{1}\:\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$ \\ $$