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Question Number 10907 by j.masanja06@gmail.com last updated on 01/Mar/17

express in partial fraction ((3x+2)/((x^2 −1)(x+1)))

$$\mathrm{express}\:\mathrm{in}\:\mathrm{partial}\:\mathrm{fraction} \\ $$$$\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$

Answered by sandy_suhendra last updated on 01/Mar/17

=((3x+2)/((x+1)(x−1)(x+1)))=((3x+2)/((x+1)^2 (x−1))) let (a/((x+1)))+(b/((x+1)^2 ))+(c/((x−1)))=((3x+2)/((x+1)^2 (x−1))) ((a(x+1)(x−1)+b(x−1)+c(x+1)^2 )/((x+1)^2 (x−1)))=((3x+2)/((x+1)^2 (x−1))) ((ax^2 −a+bx−b+cx^2 +2cx+c)/((x+1)^2 (x−1)))=((3x+2)/((x+1)^2 (x−1))) (((a+c)x^2 +(b+2c)x+(−a−b+c))/((x+1)^2 (x−1)))=((3x+2)/((x+1)^2 (x−1))) a+c=0 ⇒ a=−c b+2c=3 ⇒ b=3−2c −a−b+c=2 ⇒ c−3+2c+c=2 ⇒ c=(5/4) a=−(5/4) b=3−2((5/4))=(1/2) the partial fraction : ((−5)/(4(x+1)))+(1/(2(x+1)^2 ))+(5/(4(x−1)))

$$=\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{a}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{c}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:\:\:\: \\ $$$$\frac{\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}+\mathrm{bx}−\mathrm{b}+\mathrm{cx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2cx}+\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:\:\:\:\: \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}+\mathrm{2c}\right)\mathrm{x}+\left(−\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{a}=−\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{b}+\mathrm{2c}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\mathrm{b}=\mathrm{3}−\mathrm{2c} \\ $$$$−\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{c}−\mathrm{3}+\mathrm{2c}+\mathrm{c}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{3}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{partial}\:\mathrm{fraction}\:: \\ $$$$\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$

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