Question Number 11764 by Peter last updated on 31/Mar/17
$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}\:\mathrm{y}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}\:\mathrm{are}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{xy}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}\:+\:\mathrm{xz}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{z}\:+\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\:+\:\mathrm{2y}+\:\mathrm{z}\:+\:\mathrm{yz}}{\mathrm{y}\:+\:\mathrm{z}\:+\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{so},\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}\:+\:\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}\:+\:\mathrm{2}\:}\:=\:....? \\ $$$$ \\ $$
Answered by ajfour last updated on 31/Mar/17
$$\frac{{x}\left({y}+\mathrm{1}\right)}{{x}+\left({y}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{2};\:\:\:\frac{{x}\left({z}+\mathrm{2}\right)}{{x}+\left({z}+\mathrm{2}\right)}=\mathrm{3}; \\ $$$$\frac{\left({y}+\mathrm{1}\right)\left({z}+\mathrm{2}\right)}{\left({y}+\mathrm{1}\right)+\left({z}+\mathrm{2}\right)}=\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{y}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{2}}\:\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{y}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{z}+\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{24}}\:\:. \\ $$