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Question Number 117641 by bemath last updated on 13/Oct/20

find the solution (√(6−x)) > x−4

$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\sqrt{\mathrm{6}−\mathrm{x}}\:>\:\mathrm{x}−\mathrm{4} \\ $$

Answered by Don08q last updated on 13/Oct/20

(6−x) > (x−4)^2 or (6−x) < (x−4)^2 when 6 − x > x^2 −8x+16 x^2 −7x + 10 < 0 (x − 5)(x − 2) < 0 2 < x < 5 when 6 − x < x^2 −8x+16 x^2 −7x + 10 > 0 (x − 5)(x − 2) > 0 x < 2 ∪ x > 5 Hence, {2 < x < 5 or x < 2 ∪ x > 5}

$$\left(\mathrm{6}−{x}\right)\:>\:\left({x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \:{or}\:\left(\mathrm{6}−{x}\right)\:<\:\left({x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:{when}\:\:\mathrm{6}\:−\:{x}\:>\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{16} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{7}{x}\:+\:\mathrm{10}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({x}\:−\:\mathrm{5}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{2}\right)\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\:\:<\:{x}\:<\:\:\mathrm{5} \\ $$ $$ \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:{when}\:\:\mathrm{6}\:−\:{x}\:<\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{16} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{7}{x}\:+\:\mathrm{10}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({x}\:−\:\mathrm{5}\right)\left({x}\:−\:\mathrm{2}\right)\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}\:<\:\mathrm{2}\:\:\cup\:\:{x}\:>\:\mathrm{5} \\ $$ $$\:{Hence},\:\left\{\mathrm{2}\:<\:{x}\:<\:\mathrm{5}\:\:{or}\:\:{x}\:<\:\mathrm{2}\:\cup\:\:{x}\:>\:\mathrm{5}\right\} \\ $$

Commented bybemath last updated on 13/Oct/20

your solution 2<x<5 ? i think it wrong. let substitute x=−3 ⇒ (√(6−(−3))) > −3−4 ⇒ 3 > −7 it true

$$\mathrm{your}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{5}\:?\: \\ $$ $$\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{it}\:\mathrm{wrong}.\:\mathrm{let}\:\mathrm{substitute} \\ $$ $$\mathrm{x}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{6}−\left(−\mathrm{3}\right)}\:>\:−\mathrm{3}−\mathrm{4} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{3}\:>\:−\mathrm{7}\:\mathrm{it}\:\mathrm{true} \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 13/Oct/20

x<5

$$\mathrm{x}<\mathrm{5} \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Oct/20

(√(6−x)) > x−4(1) We need the condition x≤6 for the root is defined.Then i)For x<4 then (1) is true ii)For 4≤x≤6 (2) then (1)⇔(6−x)>(x−4)^2 =x^2 −8x+16 ⇔x^2 −7x+10<0⇔(x−2)(x−5)<0 ⇔2<x<5(3) Combining (2)(3)we get 4≤x<5 .Combining i)and ii) we get solutions of given inequality are x∈(−∞,5)

$$\:\sqrt{\mathrm{6}−\mathrm{x}}\:>\:\mathrm{x}−\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{the}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{6}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the} \\ $$ $$\mathrm{root}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}.\mathrm{Then}\: \\ $$ $$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{x}<\mathrm{4}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{true} \\ $$ $$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{4}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{6}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{then} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{6}−\mathrm{x}\right)>\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{16} \\ $$ $$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}+\mathrm{10}<\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)<\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{5}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$ $$\mathrm{Combining}\:\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{4}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{5} \\ $$ $$\left..\left.\mathrm{Combining}\:\mathrm{i}\right)\mathrm{and}\:\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{solutions} \\ $$ $$\mathrm{of}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{are}\:\mathrm{x}\in\left(−\infty,\mathrm{5}\right) \\ $$

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