Question Number 119425 by mathmax by abdo last updated on 24/Oct/20
$$\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{calculate}\:\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{+\infty} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 24/Oct/20
![F(x) =((2x−1)/((x^2 −1)^2 (x^2 +3)))=((ax+b)/(x^2 +3))+((mx^3 +nx^2 +px+q)/(x^4 −2x^2 +1)) ⇔(a+m)x^5 +(b+n)x^4 +(3m+p−2a)x^3 +(3n+q−2b)x^2 +(a+3p)x+b+3q=2x−1 ⇔ { ((a+m=0)),((b+n=0)),((3m+p−2a=0)),((3n+q−2b=0)),((a+3p=2)),((b+3q=−1)) :} { ((5m+p=0)),((5n+q=0)),((−m+3p=2)),((−n+3q=−1)) :} 16q=−5⇒q=−5/16⇒n=1/16 16p=10⇒p=10/16⇒m=−2/16 ⇒a=2/16,b=−1/16 Hence we have F(x) =((2x−1)/((x^2 −1)^2 (x^2 +3))) =((2x−1)/(16(x^2 +3)))−((2x^3 −x^2 −10x+5)/(16(x^2 −1)^2 )) 2x^3 −x^2 −10x+5=(x^2 −1)(2x−1)−8x+4 ⇒((2x^3 −x^2 −10x+5)/(16(x^2 −1)^2 ))=((2x−1)/(16(x^2 −1)))−((8x−4)/(16(x^2 −1)^2 )) (2/(x^2 −1))=(1/(x−1))−(1/(x+1))=a−b⇒2ab=a−b ⇒(4/((x^2 −1)^2 ))=(a−b)^2 =a^2 +b^2 −(a−b) ⇒F(x)=((2x−1)/(16(x^2 +3)))−((2x−1)/(16(x^2 −1)))+((4(2x−1))/(16(x^2 −1)^2 )) ∫_(√2) ^∞ F(x)=∫_(√2) ^∞ ((d(x^2 +3))/(16(x^2 +3))−(1/(16))∫_(√2) ^∞ (dx/((x^2 +3))) −(1/(16))∫_(√2) ^∞ ((d(x^2 −1))/(x^2 −1))+(1/(16))∫_(√2) ^∞ (dx/(x^2 −1))+(1/4)∫_(√2) ^∞ ((d(x^2 −1))/((x^2 −1)^2 )) −(1/4)∫_(√2) ^∞ (dx/((x^2 −1)^2 )) (1).We have J=(1/(16))∫_(√2) ^∞ (dx/((x^2 −1)))=(1/(32))∫_(√2) ^∞ ((1/(x−1))−(1/(x+1)))dx =(1/(32))ln∣((x−1)/(x+1))∣_(√2) ^∞ =−(1/(32))ln(((√2)−1)/( (√2)+1))=−(1/(16))ln((√2)−1) I=(1/4)∫_(√2) ^∞ (dx/((x^2 −1)^2 ))=(1/(16))∫_(√2) ^∞ ((1/(x−1))−(1/(x+1)))^2 dx= (1/(16))∫_(√2) ^∞ ((1/((x−1)^2 ))+(1/((x+1)^2 ))−(1/(x−1))+(1/(x+1)))dx(2) =(1/(16))[[−(1/(x−1))−(1/(x+1))+ln∣((x+1)/(x−1∣))]_(√2) ^∞ =(1/(64))((1/( (√2)−1))+(1/( (√2)+1))−ln(((√2)+1)/( (√2)−1)))=(1/(16))[2(√2) −2ln((√2)+1)] From (1)(2)we get ∫_(√2) ^∞ F(x) dx=∫_(√2) ^∞ ((2x−1)/((x^2 −1)^2 (x^2 +3)))dx =[(1/(16))ln(x^2 +3)−(1/(16)).(1/( (√3)))tan^(−1) ((x/( (√3)))) −(1/(16))ln∣x^2 −1∣−(1/(4(x^2 −1)))]_(√2) ^∞ +J−I =(1/(16))ln((x^2 +3)/(x^2 −1))−(1/(16(√3)))tan^(−1) ((x/( (√3))))−(1/(4(x^2 −1)))]_(√2) ^∞ −(1/(16))ln((√2)−1)−(1/(16))(2(√2)−2ln(1+(√2) ) =−(π/(32(√3)))−(1/(16))ln5+(1/(16(√3)))tan^(−1) (((√6)/3))+(1/4) −((√2)/8)+(3/(16))ln((√2) +1)≈0.1059174283](Q119447.png)
$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{mx}^{\mathrm{3}} +\mathrm{nx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{q}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{m}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\left(\mathrm{b}+\mathrm{n}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{3m}+\mathrm{p}−\mathrm{2a}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$+\left(\mathrm{3n}+\mathrm{q}−\mathrm{2b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{3p}\right)\mathrm{x}+\mathrm{b}+\mathrm{3q}=\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{m}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{b}+\mathrm{n}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{3m}+\mathrm{p}−\mathrm{2a}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{3n}+\mathrm{q}−\mathrm{2b}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{a}+\mathrm{3p}=\mathrm{2}}\\{\mathrm{b}+\mathrm{3q}=−\mathrm{1}}\end{cases}\begin{cases}{\mathrm{5m}+\mathrm{p}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{5n}+\mathrm{q}=\mathrm{0}}\\{−\mathrm{m}+\mathrm{3p}=\mathrm{2}}\\{−\mathrm{n}+\mathrm{3q}=−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{16q}=−\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{q}=−\mathrm{5}/\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{1}/\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{16p}=\mathrm{10}\Rightarrow\mathrm{p}=\mathrm{10}/\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{m}=−\mathrm{2}/\mathrm{16} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2}/\mathrm{16},\mathrm{b}=−\mathrm{1}/\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}−\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{5}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{5}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{8x}+\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{5}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{8x}−\mathrm{4}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{a}−\mathrm{b}\Rightarrow\mathrm{2ab}=\mathrm{a}−\mathrm{b} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}−\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right.}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{1}\right).\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{ln}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}= \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid}\right]_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \right. \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}−\mathrm{ln}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}=\int_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}.\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right. \\ $$$$\left.−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\right]_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} +\mathrm{J}−\mathrm{I} \\ $$$$\left.=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\right]_{\sqrt{\mathrm{2}}} ^{\infty} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\right. \\ $$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{32}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln5}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)\approx\mathrm{0}.\mathrm{1059174283} \\ $$
Commented by Bird last updated on 24/Oct/20
$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$