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Question Number 119487 by liberty last updated on 25/Oct/20

find element of set S = { ((x^3 −3x^2 +2)/(2x+1)) ∈ Z for x∈Z }

$${find}\:{element}\:{of}\:{set}\:{S}\:=\:\left\{\:\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}\:\in\:\mathbb{Z}\:{for}\:{x}\in\mathbb{Z}\:\right\} \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 25/Oct/20

2x+1∣x^3 −3x^2 +2⇔ 2x+1∣2(x^3 −3x^2 +2)−x^2 (2x+1)=−7x^2 +4 2x+1∣2(−7x^2 +4)+7x(2x+1)=7x+8 2x+1∣2(7x+8)−7(2x+1)=9 2x+1∈{±1, ±3, ±9} 2x+1=1⇒x=0 2x+1=−1⇒x=−1 2x+1=3⇒x=1 2x+1=−3⇒x=−2 2x+1=9⇒x=4 2x+1=−9⇒x=−5 S={−5, −2, −1, 0, 1, 4}

$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}\mid\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=−\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}\mid\mathrm{2}\left(−\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right)+\mathrm{7x}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{7x}+\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}\mid\mathrm{2}\left(\mathrm{7x}+\mathrm{8}\right)−\mathrm{7}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}\in\left\{\pm\mathrm{1},\:\pm\mathrm{3},\:\pm\mathrm{9}\right\} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}=−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{9}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{1}=−\mathrm{9}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{S}=\left\{−\mathrm{5},\:−\mathrm{2},\:−\mathrm{1},\:\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\mathrm{4}\right\} \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 25/Oct/20

((x^3 −3x^2 +2)/(2x+1))=k⇒((8x^3 −24x^2 +16)/(2x+1))=8k(k∈Z) ⇔4x^2 −14x+7−(9/(2x+1))=8k∈Z.Since x∈Z ⇒2x+1 ∣9⇔2x+1∈{±1,±3,±9} ⇔x∈{0,−1,1,−2,4,−5}.Checking we obtain k={2,0,6,22}.Thus,S has four elements are S={0,2,6,22}

$$\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{k}\Rightarrow\frac{\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{24x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{8k}\left(\mathrm{k}\in\mathrm{Z}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14x}+\mathrm{7}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{8k}\in\mathrm{Z}.\mathrm{Since}\:\mathrm{x}\in\mathrm{Z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:\mid\mathrm{9}\Leftrightarrow\mathrm{2x}+\mathrm{1}\in\left\{\pm\mathrm{1},\pm\mathrm{3},\pm\mathrm{9}\right\} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}\in\left\{\mathrm{0},−\mathrm{1},\mathrm{1},−\mathrm{2},\mathrm{4},−\mathrm{5}\right\}.\mathrm{Checking}\:\mathrm{we}\: \\ $$$$\mathrm{obtain}\:\:\mathrm{k}=\left\{\mathrm{2},\mathrm{0},\mathrm{6},\mathrm{22}\right\}.\mathrm{Thus},\mathrm{S}\:\mathrm{has}\:\mathrm{four} \\ $$$$\mathrm{elements}\:\mathrm{are}\:\mathrm{S}=\left\{\mathrm{0},\mathrm{2},\mathrm{6},\mathrm{22}\right\} \\ $$

Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 25/Oct/20

if x=2 then ((x^3 −3x^2 +2)/(2x+1))=((−2)/5)∉Z and x=6⇒((x^3 −3x^2 +2)/(2x+1))=((−110)/(13))∉Z the solutions are {−5, −2, −1, 0, 1, 4}

$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{2}\:\mathrm{then}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\notin\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{x}=\mathrm{6}\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{110}}{\mathrm{13}}\notin\mathbb{Z} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{are}\:\left\{−\mathrm{5},\:−\mathrm{2},\:−\mathrm{1},\:\mathrm{0},\:\mathrm{1},\:\mathrm{4}\right\} \\ $$

Commented by 1549442205PVT last updated on 25/Oct/20

Elements of S are the values of the expression ((x^3 −3x^2 +2)/(2x+1))

$$\mathrm{Elements}\:\mathrm{of}\:\mathrm{S}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\:\mathrm{expression}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$

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