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Question Number 125249 by mohammad17 last updated on 09/Dec/20

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 09/Dec/20

lim_(x→0) ((1−(1+(x/2))(1−(x/3))(1+(x/4))(1−(x/5))...(1+(x/(2n)))(1−(x/(2n+1))))/x) =lim_(x→0) ((1−Π_(n=1) ^n (1+(x/(2n)))Π_(n=1) ^n (1−(x/(2n+1))))/x)=y lim_(x→0) Π_(n=1) ^n (1+(x/(2n)))Π_(n=1) ^n (1−(x/(2n+1)))=1−xy Σ_(n=1) ^n log(1+(x/(2n)))+Σ_(n=1) ^n log(1−(x/(2n+1)))=log(1−xy) Σ^n (x/(2n))−(x/(2n+1))=log(−yx+1) log(1+(x/(2n)))=(x/(2n)) (x→0) ⇒x((1/2)−(1/3)+(1/4)−(1/5)+(1/6)−(1/7)+...(1/(2n))−(1/(2n+1)))=−xy ⇒((1/2)−(1/3)+(1/4)−(1/5)+(1/6)−(1/7)+...)=−y Aslim_(x→0) log(1+x)=x y=(1/3)−(1/2)+(1/5)−(1/4)+...+(1/(2n+1))−(1/(2n)) If n→∞ y=(1−(1/2)+(1/3)−(1/4)+...)−1=log(2)−1=log((2/e))

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{4}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{5}}\right)...\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)}{{x}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)}{{x}}={y} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{1}−{xy} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{log}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{log}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)={log}\left(\mathrm{1}−{xy}\right) \\ $$$$\overset{{n}} {\sum}\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}={log}\left(−{yx}+\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{log}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\right)=\frac{{x}}{\mathrm{2}{n}}\:\:\left({x}\rightarrow\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+...\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)=−{xy} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+...\right)=−{y}\:\:\:\:\:\:{As}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)={x} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}} \\ $$$${If}\:{n}\rightarrow\infty \\ $$$${y}=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+...\right)−\mathrm{1}={log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}={log}\left(\frac{\mathrm{2}}{{e}}\right) \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Dec/20

f(x)=((1−(1+x)^(1/2) (1−x)^(1/3) (1+x)^(1/4) ....(1+x)^(1/(2n)) (1−x)^(1/(2n+1)) )/x) ⇒ 1−xf(x) =(1+x)^(1/2) (1−x)^(1/3) (1+x)^(1/4) ....(1+x)^(1/(2n)) (1−x)^(1/(2n+1)) ⇒ 1−xf(x)∼(1+(x/2))(1−(x/3))(1+(x/4)).....(1+(x/(2n)))(1−(x/(2n+1))) ⇒ ln(1−xf(x))∼ln(1+(x/2))+ln(1−(x/3))+...ln(1+(x/(2n)))+ln(1−(x/(2n+1))) ∼x((1/2)−(1/3)+(1/4)−(1/5)+....+(1/(2n))−(1/(2n+1))) but (1/2)+(1/4)+....+(1/(2n))−(1/3)−(1/5)−....−(1/(2n+1))=u_n −v_n u_n =(1/2)+(1/3) +....+(1/(2n)) −(1/3)−(1/5)−....−(1/(2n+1)) =(1/2)H_n −((1/3)+(1/5)+...+(1/(2n+1))) =(1/2)H_n −(1+(1/2)+(1/3)+...+(1/(2n))+(1/(2n+1)) −1−(1/2)−(1/4)−...−(1/(2n)))=(1/2)H_n −H_(2n+1) +1+(1/2)H_n =H_n −H_(2n+1) +1 ∼ln(n)+γ +o((1/n))−ln(2n+1)−γ−o((1/(2n+1)))+1 =ln((n/(2n+1)))+1 ⇒1−xf(x)∼e^((ln((n/(2n+1)))+1)x) ⇒ f(x)=((1−e^((ln((n/(2n+1)))+1)x) )/x) ⇒lim_(x→0) f(x)=−1−ln((n/(2n+1))) we see that lim_(n→+∞) (lim_(x→0) f(x))=−1+ln(2)

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ....\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}} }{\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ....\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\sim\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\right).....\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\right)\sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{3}}\right)+...\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\sim\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+....+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\:\mathrm{but} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+....+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−....−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}=\mathrm{u}_{\mathrm{n}} −\mathrm{v}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+....+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}−....−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right. \\ $$$$\left.−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−...−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\mathrm{n}} −\mathrm{H}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}\:\sim\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)−\gamma−\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}−\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{e}^{\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{1}−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \left(\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=−\mathrm{1}+\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Dec/20

f(x)∼((1−e^((ln((n/(2n+1)))+1)x) )/x)(x∼o)

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\left(\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{x}}\left(\mathrm{x}\sim\mathrm{o}\right) \\ $$

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