Question Number 126363 by ajfour last updated on 19/Dec/20 | ||
$${x}^{\mathrm{3}} −{x}−{c}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:;\:\:\:\:\left[{c}<\mathrm{2}/\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right] \\ $$ $$\left({Solve}\:{by}\:{a}\:\:{method}\:{other}\:{than}\right. \\ $$ $$\left.{trigonometric}\:{solution}\right). \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Dec/20 | ||
$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}−\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{u}+\mathrm{v}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)−\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$ $$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3uv}\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)−\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)−\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$ $$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{c}\:+\left(\mathrm{3uv}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:=\mathrm{c}}\\{\mathrm{3uv}−\mathrm{1}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$ $$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:=\mathrm{c}\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:=\mathrm{c}}\\{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}}\end{cases}}\\{\mathrm{uv}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\end{cases} \\ $$ $$\mathrm{so}\:\mathrm{u}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{v}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{are}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ct}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Delta=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{27}}\:<\mathrm{0}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\:\:\mathrm{c}<\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{c}+\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{27}}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{c}−\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{27}}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{x}=^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{c}+\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{27}}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}}\:+^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{c}−\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{27}}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}} \\ $$ | ||
Commented byMJS_new last updated on 19/Dec/20 | ||
$$\mathrm{Cardano}'\mathrm{s}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{valid}\:\mathrm{for}\:{D}<\mathrm{0} \\ $$ | ||
Commented bymathmax by abdo last updated on 20/Dec/20 | ||
$$\mathrm{why}\:\mathrm{sir}? \\ $$ | ||
Commented byMJS_new last updated on 20/Dec/20 | ||
$${x}^{\mathrm{3}} +{px}+{q}=\mathrm{0};\:{D}=\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}+\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$ $$\mathrm{if}\:{D}<\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{3}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{we}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{find} \\ $$ $$\mathrm{using}\:\mathrm{Cardano}.\:\mathrm{see}\:\mathrm{below}\:\mathrm{article} \\ $$ | ||
Commented byMJS_new last updated on 20/Dec/20 | ||
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis | ||
Commented byMJS_new last updated on 20/Dec/20 | ||
$$\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{get}\:\mathrm{confused},\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{article}\:\Delta\:\mathrm{is}\:{not} \\ $$ $$\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:{D}\:\mathrm{I}\:\mathrm{use}.\:\mathrm{still}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{true}.\:\mathrm{you}\:\mathrm{cannot} \\ $$ $$\mathrm{reduce}\:\mathrm{the}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{number}\:\mathrm{to}\:\mathrm{its}\:\mathrm{real}\:\mathrm{value} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{to}\:\mathrm{write}\:\mathrm{down}\:\mathrm{but} \\ $$ $$\mathrm{impossible}\:\mathrm{to}\:\mathrm{use} \\ $$ | ||
Commented bymr W last updated on 20/Dec/20 | ||
$${that}'{s}\:{the}\:{point}! \\ $$ $${certainly}\:{we}\:{can}\:{express}\:{the}\:{roots} \\ $$ $${using}\:{cardano}'{s}\:{formula}\:{using}\: \\ $$ $${complex}\:{numbers},\:{but}\:{to}\:{calculate} \\ $$ $${the}\:{real}\:{values}\:{out}\:{from}\:{the}\:{formula}, \\ $$ $${we}\:{must}\:{at}\:{the}\:{end}\:{come}\:{to}\:{the} \\ $$ $${trigonometric}\:{expression}\:{form}. \\ $$ $${therefore}\:{cardano}'{s}\:{formula}\:{is}\:{not} \\ $$ $${really}\:{useful}\:{in}\:{this}\:{case}. \\ $$ | ||
Commented bymathmax by abdo last updated on 20/Dec/20 | ||
$$\mathrm{nevermind}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$ | ||
Commented byTawa11 last updated on 23/Jul/21 | ||
$$\mathrm{great} \\ $$ | ||
Answered by ajfour last updated on 19/Dec/20 | ||
$${x}={t}+{h}\:\:\Rightarrow \\ $$ $${t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{ht}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){t}+{h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}=\mathrm{0} \\ $$ $${let}\:\:{t}={p}\:\:{be}\:{also}\:{a}\:{root}.\:\:\:\Rightarrow \\ $$ $${t}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{3}{h}−{p}\right){t}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{3}{ph}\right){t}^{\mathrm{2}} \\ $$ $$+\left[{h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}−{p}\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\right]{t} \\ $$ $$−{p}\left({h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $${lets}\:{add}\:{to}\:{it} \\ $$ $${qt}\left\{{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{ht}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){t}+{h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}\right\}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+{q}\right){t}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{3}{h}−{p}+\mathrm{3}{qh}\right){t}^{\mathrm{3}} + \\ $$ $$\left[\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{3}{ph}+{q}\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\right]{t}^{\mathrm{2}} + \\ $$ $$\left[{h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}−{p}\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+{q}\left({h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}\right)\right]{t} \\ $$ $$−{p}\left({h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $${Now}\:{let} \\ $$ $$\mathrm{3}{ph}=\left(\mathrm{1}+{q}\right)\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right);\left[{coeff}.\:{of}\:{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\right] \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{3}{ht}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{6}{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{3}} + \\ $$ $$\left[\mathrm{3}{h}\left({h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}\right)−\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \right]{t} \\ $$ $$−\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left({h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}\right)=\mathrm{0} \\ $$ $${let}\:\:\:{h}^{\mathrm{3}} +{mh}−{c}=\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow\: \\ $$ $$\:{h}^{\mathrm{3}} −{h}−{c}=−\left({m}+\mathrm{1}\right){h}\:\:\: \\ $$ $$\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}{ht}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{6}{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{3}} \\ $$ $$\:\:\:\:−\left[\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({m}+\mathrm{1}\right){h}^{\mathrm{2}} \right]{t} \\ $$ $$\:\:\:\:+\left({m}+\mathrm{1}\right){h}\left(\mathrm{3}{h}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\:\Rightarrow \\ $$ $$...... \\ $$ | ||