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Question Number 128385 by n0y0n last updated on 06/Jan/21

∫_1 ^( π) determinant ((x^3 ,(lnx),(sinx)),((3x^2 ),(1/x),(cosx)),(6,(2x^(−3) ),(−cosx)))dx =?

$$\int_{\mathrm{1}} ^{\:\pi} \begin{vmatrix}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }&{\mathrm{lnx}}&{\mathrm{sinx}}\\{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }&{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}&{\mathrm{cosx}}\\{\mathrm{6}}&{\mathrm{2x}^{−\mathrm{3}} }&{−\mathrm{cosx}}\end{vmatrix}\mathrm{dx}\:=?\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Jan/21

detm(x) =x^3 determinant ((((1/x) cosx)),((2x^(−3) −cosx)))−3x^2 determinant (((lnx sinx)),((2x^(−3) −cosx))) +6 determinant (((lnx sinx)),(((1/x) cosx))) =x^3 (−((cosx)/x)−2cosx x^(−3) ) −3x^2 (−lnx cosx−2sinx x^(−3) )+6(lnx cosx−((sinx)/x)) =−x^2 cosx−2cosx +3x^2 lnx cosx +((6sinx)/x) +6lnx cosx−((6sinx)/x) =(−x^2 +3x^2 lnx +6lnx)cosx ⇒ ∫_1 ^π detm(x)dx =∫_1 ^π (−x^2 +(3x^2 +6)lnx)cosx dx =−∫_1 ^π x^2 cosx dx +3∫_1 ^π (x^2 +2)lnx cosx dx we can solve by parts...be continued...

$$\mathrm{detm}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \begin{vmatrix}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\:\:\:\:\:\mathrm{cosx}}\\{\mathrm{2x}^{−\mathrm{3}} \:\:−\mathrm{cosx}}\end{vmatrix}−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \begin{vmatrix}{\mathrm{lnx}\:\:\:\:\:\mathrm{sinx}}\\{\mathrm{2x}^{−\mathrm{3}} \:\:\:\:\:−\mathrm{cosx}}\end{vmatrix} \\ $$$$+\mathrm{6}\begin{vmatrix}{\mathrm{lnx}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{sinx}}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cosx}}\end{vmatrix}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(−\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}}−\mathrm{2cosx}\:\mathrm{x}^{−\mathrm{3}} \right) \\ $$$$−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{lnx}\:\mathrm{cosx}−\mathrm{2sinx}\:\mathrm{x}^{−\mathrm{3}} \right)+\mathrm{6}\left(\mathrm{lnx}\:\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{cosx}−\mathrm{2cosx}\:+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{lnx}\:\mathrm{cosx}\:+\frac{\mathrm{6sinx}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{6lnx}\:\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{6sinx}}{\mathrm{x}} \\ $$$$=\left(−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{lnx}\:+\mathrm{6lnx}\right)\mathrm{cosx}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\pi} \mathrm{detm}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\pi} \left(−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6}\right)\mathrm{lnx}\right)\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{1}} ^{\pi} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx}\:+\mathrm{3}\int_{\mathrm{1}} ^{\pi} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\right)\mathrm{lnx}\:\mathrm{cosx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

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