Question Number 130320 by benjo_mathlover last updated on 24/Jan/21
$$\:\int\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 24/Jan/21
![Let E = ∫ ((x−1)/((x−2)(x^2 −2x+2)^2 )) dx E = (1/2)∫ ((2(x−1))/((x−2)(x^2 −2x+2)^2 )) dx E= −(1/(2(x−2)(x^2 −2x+2)))−(1/2)∫ (1/((x^2 −2x+2)(x−2)^2 ))dx by searching for a,b c and d such that for all x (1/((x^2 −2x+2)(x−2)^2 )) = ((ax+b)/((x^2 −2x+2)))+(c/(x−2))+(d/((x−2)^2 )) we obtain (1/((x^2 −2x+2)(x−2)^2 ))=((x−1)/(2(x^2 −2x+2)))−(1/(2(x−2)))+(1/(2(x−2)^2 )) thus E=−(1/(2(x−2)(x^2 −2x+2)))−(1/2)[ (1/4)ln ∣x^2 −2x+2∣ −2ln ∣x−2∣−(1/(2(x−2))) ] + c](Q130329.png)
$$\mathrm{Let}\:\mathcal{E}\:=\:\int\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:{dx} \\ $$$$\mathcal{E}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathcal{E}=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{searching}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a},\mathrm{b}\:\mathrm{c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{d}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{obtain}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{thus}\:\mathcal{E}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{2}\mid\:−\mathrm{2ln}\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)}\:\right]\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$