Question Number 130528 by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Jan/21
![I =∫_2 ^∞ (dx/((x^2 −1)^5 )) ⇒I =∫_2 ^∞ (dx/((x−1)^5 (x+1)^5 ))=∫_2 ^∞ (dx/((((x−1)/(x+1)))^5 (x+1)^(10) )) we do the changement ((x−1)/(x+1))=t ⇒x−1=tx+t ⇒(1−t)x=1+t ⇒ x=((1+t)/(1−t)) ⇒(dx/dt)=((1−t−(1+t)(−1))/((1−t)^2 ))=(2/((1−t)^2 )) and x+1=((1+t)/(1−t))+1 =((1+t+1−t)/(1−t))=(2/(1−t)) ⇒ I =∫_(1/3) ^1 (2/((1−t)^2 t^5 ((2/(1−t)))^(10) )) dt =(1/2^9 )∫_(1/3) ^1 (((1−t)^(10) )/((1−t)^2 t^5 ))dt ⇒2^9 I =∫_(1/3) ^1 (((t−1)^8 )/t^5 )dt =∫_(1/3) ^(1 ) ((Σ_(k=0) ^8 C_8 ^k t^k (−1)^(8−k) )/t^5 )dt =Σ_(k=0) ^8 C_8 ^k (−1)^k ∫_(1/3) ^1 t^(k−5) dt =Σ_(k=0,k≠4) ^8 (−1)^k C_8 ^k [(1/(k−4))t^(k−4) ]_(1/3) ^1 +C_8 ^4 [ln∣t∣]_(1/3) ^1 =Σ_(k=0,k≠4) ^8 (((−1)^k C_8 ^k )/(k−4))(1−(1/3^(k−4) ))+C_8 ^4 ln3 ⇒ I =(1/2^9 ){ Σ_(k=0,k≠4) ^8 (((−1)^k C_8 ^k )/(k−4)) +(ln3)C_8 ^4 } =Σ_(k=0) ^8 (−1)^k C_8 ^k [(1/(k−4))t^(k−4) ]_(1/3) ^1 +C_8 ^4 [ln∣g]_(1/3) ^1](Q130631.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} }\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} }=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{10}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{tx}+\mathrm{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{1}+\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{5}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{10}} }\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} }\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{10}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \:\mathrm{I}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{8}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}\:} \:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{8}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{8}−\mathrm{k}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{8}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{5}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0},\mathrm{k}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{8}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{k}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{4}}\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{4}} \right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{4}} \left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}\mid\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0},\mathrm{k}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{8}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{k}−\mathrm{4}} }\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{4}} \mathrm{ln3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{9}} }\left\{\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0},\mathrm{k}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{8}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{4}}\:+\left(\mathrm{ln3}\right)\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{4}} \right\} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{8}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{k}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{4}}\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{4}} \right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{4}} \left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{g}\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \\ $$