Question Number 132016 by bramlexs22 last updated on 10/Feb/21
$$\mathrm{Trigonometry} \\ $$$$\:\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\:\sqrt{\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)}\:. \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 11/Feb/21
![consider ((3sin x−10)−4cos x)((3sin x−10)+4cos x)= (3sin x−10)^2 −16cos^2 x = 9sin^2 x−60sin x+100−16(1−sin^2 x) = 25sin^2 x−60sin x+84 = 25(sin^2 x−((12)/5)sin x+((84)/(25))) = 25 [ (sin x−(6/5))^2 +((48)/(25)) ] let J = (√((3sin x−4cos x−10)(3sin x+4cos x−10))) J=(√(25 [ (sin x−(6/5))^2 +((48)/(25)) ] )) J = 5(√((sin x−(6/5))^2 +((48)/(25)))) J will be minimum if g(x)=(sin x−(6/5))^2 +((48)/(25)) minimum ⇒take g′(x)=2cos x(sin x−(6/5))=0 we get cos x=0 since sin x=(6/5) is rejected then from cos x=0⇒sin x=1 J_(min ) = 5(√((1−(6/5))^2 +((48)/(25)))) = 7](Q132021.png)
$$\:\mathrm{consider}\:\left(\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)−\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}\right)\left(\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)+\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}\right)= \\ $$$$\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{16cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:=\:\mathrm{9sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{60sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{100}−\mathrm{16}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$\:=\:\mathrm{25sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{60sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{84} \\ $$$$\:=\:\mathrm{25}\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{84}}{\mathrm{25}}\right) \\ $$$$\:=\:\mathrm{25}\:\left[\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{25}}\:\right] \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{J}\:=\:\sqrt{\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)\left(\mathrm{3sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{4cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)} \\ $$$$\mathrm{J}=\sqrt{\mathrm{25}\:\left[\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{25}}\:\right]\:}\: \\ $$$$\mathrm{J}\:=\:\mathrm{5}\sqrt{\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{25}}} \\ $$$$\mathrm{J}\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{if}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{25}} \\ $$$$\mathrm{minimum}\:\Rightarrow\mathrm{take}\:\mathrm{g}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2cos}\:\mathrm{x}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{since}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{rejected} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{from}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{min}\:} =\:\mathrm{5}\sqrt{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{48}}{\mathrm{25}}}\:=\:\mathrm{7}\: \\ $$