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Question Number 132432 by Chhing last updated on 14/Feb/21

Solve differential equations 1/ (x^3 −1)y′+xy=x 2/ (x^2 −1)y′−xy+((2x)/( (√(1+x^2 ))))=0 3/ x^2 (lnx)y′′+y=0 , know that y=lnx is the answer

$$ \\ $$$$\:\:\mathrm{Solve}\:\:\mathrm{differential}\:\:\mathrm{equations} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{1}/\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}'+\mathrm{xy}=\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}/\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}'−\mathrm{xy}+\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{3}/\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{lnx}\right)\mathrm{y}''+\mathrm{y}=\mathrm{0}\:,\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\mathrm{y}=\mathrm{lnx}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer} \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Feb/21

1) h →(x^3 −1)y^′ +xy =0 ⇒(x^3 −1)y^′ =−xy ⇒(y^′ /y) =((−x)/(x^3 −1)) ⇒ ln∣y∣ =−∫ ((xdx)/(x^3 −1)) let decompose F(x)=(x/(x^3 −1))=(x/((x−1)(x^2 +x+1)) =(a/(x−1))+((bx+c)/(x^2 +x+1)) we have a=(1/3) lim_(x→+∞) xF(x)=0 =a+b ⇒b=−(1/3) F(0)=0 =−a+c ⇒c=a=(1/3) ⇒F(x)=(1/(3(x−1)))+((−(1/3)x+(1/3))/(x^2 +x+1)) ∫ F(x)dx =(1/3)ln∣x−1∣−(1/3)∫ ((x−1)/(x^2 +x+1))dx =(1/3)ln∣x−1∣−(1/6)∫ ((2x+1−3)/(x^2 +x+1))dx =(1/3)ln∣x−1∣−(1/6)ln(x^2 +x+1)+(1/2)∫ (dx/((x+(1/2))^2 +(3/4))) ∫ (dx/((x+(1/2))^2 +(3/4))) =_(x+(1/2)=((√3)/2)t) (4/3) ∫ (1/(t^2 +1))((√3)/2)dt =(2/( (√3)))arctan(((2x+1)/( (√3)))) +c ⇒ ln∣y∣ =(1/3)ln∣x−1∣−(1/6)ln(x^2 +x+1)+(1/( (√3)))arctan(((2x+1)/( (√3))))+c ⇒ y =k ∣x−1∣^3 .(x^2 +x+1)^(−(1/6)) .e^((1/( (√3)))arctan(((2x+1)/( (√3))))) ....be continued....

$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{h}\:\rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{xy}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} \:=−\mathrm{xy}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=−\int\:\frac{\mathrm{xdx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right.} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:=−\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=_{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}} \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid^{\mathrm{3}} .\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \:.\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} \\ $$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Feb/21

2) (x^2 −1)y^′ −xy+((2x)/( (√(1+x^2 ))))=0 h→(x^2 −1)y^′ =xy ⇒(y^′ /y) =(x/(x^2 −1)) ⇒ln∣y∣ =∫ ((xdx)/(x^2 −1)) +c =(1/2)ln∣x^2 −1∣ +c ⇒y =k (√(∣x^2 −1∣)) solution on w={x/x^2 −1>0} ⇒y =k(√(x^2 −1)) lagrange method y^′ =k^′ (√(x^2 −1)) +k((2x)/(2(√(x^2 −1)))) e⇒(x^2 −1)k^′ (√(x^2 −1)) +kx(√(x^2 −1))−xk(√(x^2 −1))+((2x)/( (√(1+x^2 ))))=0 ⇒ k^′ (x^2 −1)(√(x^2 −1))=−((2x)/( (√(1+x^2 )))) ⇒k^′ =−((2x)/((x^2 −1)(√(x^2 −1))(√(x^2 +1)))) ⇒ k^′ =((2x)/((x^2 −1)(√(x^4 −1)))) ⇒k(x)=∫ ((2xdx)/((x^2 −1)(√(x^4 −1)))) +λ ⇒ y(x)=(√(x^2 −1)){ ∫ ((2x)/((x^2 −1)(√(x^4 −1))))dx +λ}

$$\left.\mathrm{2}\right)\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} −\mathrm{xy}+\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}^{'} =\mathrm{xy}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\int\:\frac{\mathrm{xdx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{c} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\sqrt{\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid}\:\:\mathrm{solution}\:\mathrm{on}\:\mathrm{w}=\left\{\mathrm{x}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}>\mathrm{0}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\:\:\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{k}\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{k}^{'} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\mathrm{kx}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{xk}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{2x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=−\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\int\:\:\frac{\mathrm{2xdx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}}\:+\lambda\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left\{\:\int\:\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}}\mathrm{dx}\:+\lambda\right\} \\ $$

Commented by Chhing last updated on 15/Feb/21

Thank sir

$$\mathrm{Thank}\:\:\mathrm{sir} \\ $$

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