Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Integration Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Integration      Next in Integration      

Question Number 133004 by liberty last updated on 18/Feb/21

If ∫ ((tan x)/(1+tan x+tan^2 x)) dx = x−(k/( (√A))) tan^(−1) (((k tan x+1)/( (√A))))+C where C is constant of integration. then the ordered pair (k,A) is equal to

$$\mathrm{If}\:\int\:\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}−\frac{{k}}{\:\sqrt{{A}}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{k}\:\mathrm{tan}\:{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{{A}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{C}\:\mathrm{is}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{of}\:\mathrm{integration}. \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{ordered}\:\mathrm{pair}\:\left({k},\mathrm{A}\right)\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\: \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 18/Feb/21

consider tan x = 1+tan^2 x+tan x−sec^2 x I=∫ ((1+tan^2 x+tan x−sec^2 x)/(1+tan x+tan^2 x)) dx I=∫1−((sec^2 x)/(1+tan x+tan^2 x)) dx I=x−∫((sec^2 x)/(1+tan x+tan^2 x))dx put u = tan x I=x−∫ (du/(1+u+u^2 )) =x−∫ (du/((u+(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )) I=x−(2/( (√3))) tan^(−1) (((u+(1/2))/((√3)/2)))+C I=x−(2/( (√3)))tan^(−1) (((2tan x+1)/( (√3))))+C we find → { ((k=2)),((A=3)) :} ⇒(k,A) = (2,3)

$$\:\mathrm{consider}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}−\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\int\mathrm{1}−\frac{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\int\frac{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{put}\:\mathrm{u}\:=\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\int\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{x}−\int\:\frac{\mathrm{du}}{\left(\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{u}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2tan}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\mathrm{C}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\rightarrow\begin{cases}{{k}=\mathrm{2}}\\{{A}=\mathrm{3}}\end{cases}\:\Rightarrow\left({k},\mathrm{A}\right)\:=\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right) \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com