Question Number 134820 by 0731619177 last updated on 07/Mar/21
Answered by Ar Brandon last updated on 07/Mar/21
![I=∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((xyz)/((x+y)(x+z)(z+y)))dxdydz =∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((yz)/((z+y)))∫_0 ^1 ((xdx)/((x+y)(x+z)))dydz =∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((yz)/((z+y)))∫_0 ^1 {(y/(y−z))∙(1/(x+y))+(z/(z−y))∙(1/(x+z))}dxdydz =∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((yz)/((z+y)))[(y/(y−z))ln(x+y)+(z/(z−y))ln(x+z)]_0 ^1 dydz =∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((yz)/((z+y)))[(y/(y−z))ln(((y+1)/y))+(z/(z−y))ln(((z+1)/z))]dydz =∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((y^2 z)/(y^2 −z^2 ))ln(((y+1)/y))dzdy+∫_0 ^1 ∫_0 ^1 ((z^2 y)/(z^2 −y^2 ))ln(((z+1)/z))dydz =−(1/2)∫_0 ^1 [y^2 ln(y^2 −z^2 )ln(((y+1)/y))]_0 ^1 dy−(1/2)∫_0 ^1 [z^2 ln(z^2 −y^2 )ln(((z+1)/z))]_0 ^1 dz =−(1/2)∫_0 ^1 y^2 ln(((y^2 −1)/y^2 ))ln(((y+1)/y))dy−(1/2)∫_0 ^1 z^2 ln(((z^2 −1)/z^2 ))ln(((z+1)/z))dz =−∫_0 ^1 y^2 ln(((y^2 −1)/y^2 ))ln(((y+1)/y))dy](Q134840.png)
$$\mathcal{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{xyz}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{y}\right)}\mathrm{dxdydz} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{yz}}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{y}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{xdx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right)}\mathrm{dydz} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{yz}}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{y}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{y}−\mathrm{z}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{y}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{z}}\right\}\mathrm{dxdydz} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{yz}}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{y}\right)}\left[\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{y}−\mathrm{z}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{y}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{z}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{dydz} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{yz}}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{y}\right)}\left[\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{y}−\mathrm{z}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)+\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{y}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{z}+\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\right)\right]\mathrm{dydz} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dzdy}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{z}+\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\right)\mathrm{dydz} \\ $$$$\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left[\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{dy}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left[\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{z}+\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{dz} \\ $$$$\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{z}+\mathrm{1}}{\mathrm{z}}\right)\mathrm{dz} \\ $$$$\:\:\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\right)\mathrm{dy} \\ $$
Commented by 0731619177 last updated on 08/Mar/21
$${what}\:{is}\:{the}\:{final}\:{answer} \\ $$