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Question Number 135418 by liberty last updated on 13/Mar/21

Given x+(1/x) = 5 then ((x^4 +(1/x^4 ))/(x^2 −3x+1)) ?

$${Given}\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:=\:\mathrm{5}\:{then}\:\frac{{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}}\:? \\ $$

Answered by SEKRET last updated on 13/Mar/21

(x+(1/x))^2 =5^2 x^2 +(1/x^2 )= 23 (x^2 +(1/x^2 ))^2 =23^2 x^4 +(1/x^4 )= 23^2 −2=527 x^2 −3x+1 = ? x^2 −5x+1=0 x^2 +1= 5x x^2 +1−3x= 2x ((x^4 +(1/x^4 ))/(x^2 −3x+1)) = ((527)/(2x)) x^2 −5x+1=0 x=((5∓(√(21)))/2) ((x^4 +(1/x^4 ))/(x^2 −3x+1)) = ((527)/(5∓(√(21)))) =((2635∓527(√(21)))/4)

$$\:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }=\:\mathrm{23}\:\:\:\:\:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{23}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} }=\:\mathrm{23}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{527} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\:=\:?\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\:\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{x}}\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{x}}=\:\:\:\:\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} }}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}\:=\:\:\frac{\mathrm{527}}{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{5}\mp\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} }}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{527}}{\mathrm{5}\mp\sqrt{\mathrm{21}}}\:=\frac{\mathrm{2635}\mp\mathrm{527}\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$

Answered by Ñï= last updated on 13/Mar/21

x+(1/x)=5 ⇒x^2 +(1/x^2 )=23 ⇒x^4 +(1/x^4 )=23^2 −2=527 x^2 −5x+1=0 ⇒x=((5±(√(21)))/2) ⇒2x=5±(√(21)) (((1/x)(x^4 +(1/x^4 )))/(x+(1/x)−3))=((527)/(2x))=((527)/(5±(√(21))))=((527)/4)(5±(√(21)))

$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{23}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }=\mathrm{23}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{527} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{2}{x}=\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$$$\frac{\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left({x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }\right)}{{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{527}}{\mathrm{2}{x}}=\frac{\mathrm{527}}{\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{21}}}=\frac{\mathrm{527}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{21}}\right) \\ $$

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