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Question Number 135540 by mohammad17 last updated on 13/Mar/21

Answered by Olaf last updated on 13/Mar/21

Q1a) 1/ S_n = Σ_(k=1) ^n [(1/5^k )−(1/(k(k+1)))] S_n = Σ_(k=1) ^n [(1/5^k )−((1/k)−(1/(k+1)))] S_n = (1/5).((1−((1/5))^n )/(1−(1/5)))−(1−(1/(n+1))) S_n = −(3/4)−(1/4)((1/5))^n +(1/(n+1)) lim_(n→∞) S_n = −(3/4) 2/ S_n = Σ_(k=0) ^n (((−1)^k )/3^(k+1) ) = (1/3)Σ_(k=0) ^n (−(1/3))^k S_n = (1/3)×1.((1−(−(1/3))^(n+1) )/(1−(−(1/3)))) S_n = ((1−(−(1/3))^(n+1) )/4) lim_(n→∞) S_n = (1/4) Q1b) 1/ S_n = Σ_(k=1) ^n (((√(k+1))−(√k))/( (√(k^2 +k)))) S_n = Σ_(k=1) ^n (((√(k+1))−(√k))/( (√k).(√(k+1)))) S_n = Σ_(k=1) ^n [(1/( (√k)))−(1/( (√(k+1))))] S_n = 1−(1/( (√(n+1)))) lim_(n→∞) S_n = 1 2/ S_n = Σ_(k=1) ^n [(1/k)−(1/(k+2))] S_n = 1+(1/2)−(1/(n+1))−(1/(n+2)) lim_(n→∞) S_n = (3/2)

$$\left.\mathrm{Q1a}\right) \\ $$$$\mathrm{1}/\:\:\:\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{{k}} }−\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}\right] \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{{k}} }−\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}.\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}}−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} +\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}S}_{{n}} \:=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}/\:\:\:\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\mathrm{3}^{{k}+\mathrm{1}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{k}} \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\mathrm{1}.\frac{\mathrm{1}−\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}−\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{Q1}{b}\right) \\ $$$$\mathrm{1}/\:\:\:\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−\sqrt{{k}}}{\:\sqrt{{k}^{\mathrm{2}} +{k}}} \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\sqrt{{k}+\mathrm{1}}−\sqrt{{k}}}{\:\sqrt{{k}}.\sqrt{{k}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{k}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{k}+\mathrm{1}}}\right] \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{n}+\mathrm{1}}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}S}_{{n}} \:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}/\:\:\:\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left[\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{2}}\right] \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by Olaf last updated on 13/Mar/21

Q3a) 1/ ∫sinx^3 dx = ∫Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (((x^3 )^(2n+1) )/((2n+1)!)) dx = Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (x^(6n+4) /((6n+4)(2n+1)!)) = (x^4 /2)Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (x^(6n) /((3n+2)(2n+1)!)) 2/ ∫ln(1+x)dx = ∫Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (x^(n+1) /(n+1)) dx = Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (x^(n+2) /((n+1)(n+2))) = −xΣ_(n=1) ^∞ (−1)^n (x^n /(n(n+1)))

$$\left.\mathrm{Q3a}\right) \\ $$$$\mathrm{1}/\:\int\mathrm{sin}{x}^{\mathrm{3}} \:{dx}\:=\:\int\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{\left({x}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!}\:{dx} \\ $$$$=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{\mathrm{6}{n}+\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{6}{n}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$=\:\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{\mathrm{6}{n}} }{\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\mathrm{2}/\:\:\int\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right){dx}\:=\:\int\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\:−{x}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{{n}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$

Answered by Olaf last updated on 13/Mar/21

Q2) 1/ e^x = Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n!)) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (e^n /(n!)) = e^e −1 2/ Σ_(k=2) ^∞ ((lnk)/(k−1)) ≥ Σ_(k=2) ^∞ ((ln2)/(k−1)) = ln2Σ_(k=1) ^∞ (1/k) But the harmonic serie Σ(1/k) diverges ⇒ the serie Σ_(k=2) ^∞ ((lnk)/(k−1)) diverges too 3/ (1/(1−α)) = Σ_(n=0) ^∞ α^n converges if ∣α∣<1 4/ Σ_(n=1) ^∞ (1/(n^2 +1)) ≤ Σ_(n=1) ^∞ (1/n^2 ) But the serie Σ(1/k^2 ) converges (→(π^2 /6)) ⇒ the serie Σ_(k=2) ^∞ ((lnk)/(k−1)) converges too 5/ 4Σ_(n=1) ^∞ (1/n^4 ) converges 6/ Σ_(x=1) ^∞ ((sin^2 x)/x) Σ_(x=1) ^∞ ((1−cos(2x))/(2x)) But the serie Σ((cos(2n))/n^2 ) converges (Abel) and the harmonic serie Σ(1/(2n)) diverges ⇒ the serie Σ_(x=1) ^∞ ((sin^2 x)/x) diverges

$$\left.\mathrm{Q2}\right) \\ $$$$\mathrm{1}/\:\:\:{e}^{{x}} \:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:\Rightarrow\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{e}^{{n}} }{{n}!}\:=\:{e}^{{e}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}/\:\:\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{ln}{k}}{{k}−\mathrm{1}}\:\geqslant\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{ln2}}{{k}−\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{ln2}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{harmonic}\:\mathrm{serie}\:\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:\mathrm{diverges} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{ln}{k}}{{k}−\mathrm{1}}\:\mathrm{diverges}\:\mathrm{too} \\ $$$$\mathrm{3}/\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\alpha}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\alpha^{{n}} \:\mathrm{converges}\:\mathrm{if}\:\mid\alpha\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}/\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\leqslant\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{converges}\:\left(\rightarrow\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{ln}{k}}{{k}−\mathrm{1}}\:\mathrm{converges}\:\mathrm{too} \\ $$$$\mathrm{5}/\:\:\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{converges} \\ $$$$\mathrm{6}/\:\:\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}}{{x}}\:\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}{x}\right)}{\mathrm{2}{x}} \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\Sigma\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}{n}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{converges}\:\left(\mathrm{Abel}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{harmonic}\:\mathrm{serie}\:\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}\:\mathrm{diverges} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}}{{x}}\:\mathrm{diverges} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Mar/21

2)Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/3^(n+1) )=(1/3)Σ_(n=0) ^∞ (−(1/3))^n =(1/3)×(1/(1+(1/3)))=(1/3).(3/4)=(1/4)

$$\left.\mathrm{2}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$

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