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Question Number 136921 by mnjuly1970 last updated on 27/Mar/21

evaluation of :: 𝛗=∫_0 ^( 1) ((xln(1+x))/(1+x^2 ))dx solution: 𝛗=^(I.B.P ) [(1/2)ln(1+x^2 )ln(1+x)]_0 ^1 βˆ’(1/2){∫_0 ^( 1) ((ln(1+x^2 ))/(1+x))dx=𝚽} 𝛗=(1/2)ln^2 (2)βˆ’(1/2) 𝚽 ........βœ“ 𝚽=∫_0 ^( 1) ((ln(1+x^2 ))/(1+x))dx =??? h(a)=∫_0 ^( 1) ((ln(1+ax^2 ))/(1+x))dx hβ€²(a)=∫_0 ^( 1) (βˆ‚/βˆ‚_a )(((ln(1+ax^2 ))/(1+x)))dx hβ€²(a)=∫_0 ^( 1) (x^2 /((1+x)(1+ax^2 )))dx hβ€²(a)=(1/(1+a))∫_0 ^( 1) (1/(1+x))dx+(1/(1+a))∫_0 ^( 1) (x/(1+ax^2 ))dxβˆ’(1/(1+a))∫_0 ^( 1) (1/(1+ax^2 ))dx =(1/(1+a))ln(2)+(1/2).(1/(a(1+a)))ln(1+a)βˆ’((√a)/(a(1+a)))[(tan^(βˆ’1) (x(√a) )]_0 ^1 =((ln(2))/(1+a))+(1/2).(1/(a(1+a))) ln(1+a)βˆ’((√a)/(a(1+a)))tan^(βˆ’1) ((√a) ) ∫_0 ^( 1) hβ€²(a)da=ln^2 (2)+(1/2)∫_0 ^( 1) ((ln(1+a))/a)daβˆ’(1/4)ln^2 (2)βˆ’((Ο€^2 /(16))) =ln^2 (2)+(Ο€^2 /(24))βˆ’(1/4)ln^2 (2)βˆ’(Ο€^2 /(16)) =(3/4)ln^2 (2)βˆ’(Ο€^2 /(48)) ∴ h(1)=𝚽=(3/4)ln^2 (2)βˆ’(Ο€^2 /(48)) ..βœ“ 𝛗=(1/2)ln^2 (2)βˆ’(3/8)ln^2 (2)+(Ο€^2 /(96)) 𝛗=(1/8)ln^2 (2)+(Ο€^2 /(96))

$$\:\:\:\:\:{evaluation}\:{of}\:::\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{xln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\:\:{solution}: \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}\overset{{I}.{B}.{P}\:} {=}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx}=\boldsymbol{\Phi}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\boldsymbol{\Phi}\:........\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\Phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx}\:=??? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{ax}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{h}'\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\partial}{\partial_{{a}} }\left(\frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{ax}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{x}}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{h}'\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{ax}^{\mathrm{2}} \right)}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{h}'\left({a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{x}}{\mathrm{1}+{ax}^{\mathrm{2}} }{dx}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{ax}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{1}+{a}\right)}{ln}\left(\mathrm{1}+{a}\right)βˆ’\frac{\sqrt{{a}}}{{a}\left(\mathrm{1}+{a}\right)}\left[\left({tan}^{βˆ’\mathrm{1}} \left({x}\sqrt{{a}}\:\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{1}+{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{{a}\left(\mathrm{1}+{a}\right)}\:{ln}\left(\mathrm{1}+{a}\right)βˆ’\frac{\sqrt{{a}}}{{a}\left(\mathrm{1}+{a}\right)}{tan}^{βˆ’\mathrm{1}} \left(\sqrt{{a}}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {h}'\left({a}\right){da}={ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{a}\right)}{{a}}{da}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}}\right) \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\therefore\:\:{h}\left(\mathrm{1}\right)=\boldsymbol{\Phi}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}\:\:..\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{96}} \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{96}} \\ $$$$\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Mar/21

Ξ¦=∫_0 ^1 ((log(1+x^2 ))/(1+x))dx =Ο•(1) with Ο•(t)=∫_0 ^1 ((log(1+tx^2 ))/(1+x)) (t>0) we have Ο•^β€² (t)=∫_0 ^1 (x^2 /((x+1)(tx^2 +1)))dx =(1/t)∫_0 ^1 ((tx^2 +1βˆ’1)/((x+1)(tx^2 +1)))dx =(1/t)∫_0 ^1 (dx/(x+1))βˆ’(1/t)∫_0 ^1 (dx/((x+1)(tx^2 +1))) but ∫_0 ^1 (dx/(x+1))=ln2 let decompose F(x)=(1/((x+1)(tx^2 +1)))=(a/(x+1)) +((bx+c)/(tx^2 +1)) a=(1/(t+1)) , lim_(xβ†’βˆž) xF(x)=0 =a+(b/t) β‡’0=at+b β‡’b=βˆ’(t/(t+1)) F(0)=1=a+c β‡’c=1βˆ’(1/(t+1))=(t/(t+1)) β‡’ F(x)=(1/((t+1)(x+1)))+((βˆ’(t/(t+1))x+(t/(t+1)))/(tx^2 +1)) =(1/(t+1)){(1/(x+1))βˆ’((txβˆ’t)/(tx^2 +1))} β‡’βˆ«_0 ^1 F(x)dx=(1/(t+1)){ln2βˆ’βˆ«_0 ^1 ((txβˆ’t)/(tx^2 +1))dx} and ∫_0 ^1 ((txβˆ’t)/(tx^2 +1))dx =(1/2)∫_0 ^1 ((2tx)/(tx^2 +1))dxβˆ’βˆ«_0 ^1 (t/(tx^2 +1))dx((√t)x=y) =(1/2)[ln(tx^2 +1)]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^(√t) (t/(y^2 +1))(dy/( (√t))) =(1/2)ln(t+1)βˆ’(√t)arctan((√t)) β‡’ Ο•^β€² (t)=((log2)/t)βˆ’(1/(t(t+1))){ln2βˆ’(1/2)log(t+1)+(√t)arctan((√t))} =((log2)/t)βˆ’((log2)/(t(t+1)))βˆ’((log(t+1))/(t(t+1)))βˆ’(((√t)arctan((√t)))/(t(t+1))) =((log2)/t)(1βˆ’(1/(t+1)))βˆ’...=((log2)/t).(t/(t+1))βˆ’((log(t+1))/(t(t+1)))βˆ’(((√t)arctan((√t)))/(t(t+1))) =((log2)/(t+1))βˆ’((1/t)βˆ’(1/(t+1)))log(t+1)βˆ’(((√t)arctan((√t)))/(t(t+1))) β‡’βˆ«_0 ^1 Ο•^β€² (t)dt =log^2 (2)βˆ’βˆ«_0 ^1 ((log(t+1))/t)dt+∫_0 ^1 ((log(t+1))/(t+1))dt βˆ’βˆ«_0 ^1 (((√t)arctan((√t)))/(t(t+1)))dt ∫_0 ^1 ((log(t+1))/t)dt =[logt.log(t+1)]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1 ((logt)/(t+1))dt =βˆ’βˆ«_0 ^1 log(t)Ξ£_(n=0) ^∞ (βˆ’1)^n t^n dt=βˆ’Ξ£_(n=0) ^∞ (βˆ’1)^n ∫_0 ^1 t^n logt dt U_n =∫_0 ^1 t^n logt dt =[(t^(n+1) /(n+1))logt]_0 ^1 βˆ’(1/(n+1))∫_0 ^1 t^n dt =βˆ’(1/((n+1)^2 )) β‡’βˆ«_0 ^1 ((log(t+1))/t)dt =Ξ£_(n=0) ^∞ (((βˆ’1)^n )/((n+1)^2 )) =βˆ’Ξ£_(n=1) ^∞ (((βˆ’1)^n )/n^2 ) =βˆ’(2^(1βˆ’2) βˆ’1)ΞΎ(2)=βˆ’(βˆ’(1/2)).(Ο€^2 /6)=(Ο€^2 /(12)) ∫_0 ^1 ((log(t+1))/(t+1))dt =[log^2 (t+1)]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1 ((log(t+1))/(t+1))dt β‡’ ∫_0 ^1 ((log(t+1))/(t+1))dt =((ln^2 (2))/2) J=∫_0 ^1 (((√t) arctan((√t)))/(t(t+1)))dt =_((√t)=y) ∫_0 ^1 ((yarctany)/(y^2 (y^2 +1)))(2y)dy =2∫_0 ^1 ((arctan(y))/(y^2 +1))dy =2{ [arctan^2 y]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1 ((arctany)/(y^2 +1))} =2Γ—(Ο€^2 /(16))βˆ’2∫(...)dy β‡’4∫_0 ^1 ((arctany)/(y^2 +1))dy =(Ο€^2 /8) β‡’ ∫_0 ^1 ((arctany)/(y^2 +1))dy =(Ο€^2 /(32)) β‡’ Ξ¦ =Ο•(1)=log^2 (2)βˆ’(Ο€^2 /(12)) +((ln^2 (2))/2)βˆ’(Ο€^2 /(16))=(3/2)ln^2 (2)βˆ’((4Ο€^2 )/(48))βˆ’((3Ο€^2 )/(48)) =(3/2)ln^2 (2)βˆ’((7Ο€^2 )/(48)) ??

$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\:=\varphi\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{with}\:\varphi\left(\mathrm{t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:\:\left(\mathrm{t}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\varphi^{'} \left(\mathrm{t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}βˆ’\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{but}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{ln2} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\:,\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}}\:\Rightarrow\mathrm{0}=\mathrm{at}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=βˆ’\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{βˆ’\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}βˆ’\frac{\mathrm{tx}βˆ’\mathrm{t}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right\}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\left\{\mathrm{ln2}βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tx}βˆ’\mathrm{t}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right\}\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tx}βˆ’\mathrm{t}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2tx}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{x}=\mathrm{y}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{t}}} \:\:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{dy}}{\:\sqrt{\mathrm{t}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)βˆ’\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{t}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\left\{\mathrm{ln2}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{t}}βˆ’\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}βˆ’\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}βˆ’\frac{\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{t}}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)βˆ’...=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{t}}.\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}βˆ’\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}βˆ’\frac{\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}βˆ’\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)βˆ’\frac{\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\varphi^{'} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:=\left[\mathrm{logt}.\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{log}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt}=βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{logt}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{logt}\:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{logt}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt}\:=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=βˆ’\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{2}} βˆ’\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)=βˆ’\left(βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right).\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\left[\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{J}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{t}}\:\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{t}}\right)}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=_{\sqrt{\mathrm{t}}=\mathrm{y}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{yarctany}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\left(\mathrm{2y}\right)\mathrm{dy} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{y}\right)}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dy}\:=\mathrm{2}\left\{\:\left[\mathrm{arctan}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctany}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$=\mathrm{2}Γ—\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}}βˆ’\mathrm{2}\int\left(...\right)\mathrm{dy}\:\Rightarrow\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctany}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dy}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctany}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dy}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{32}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi\:=\varphi\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}βˆ’\frac{\mathrm{3}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)βˆ’\frac{\mathrm{7}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}\:?? \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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