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Question Number 137129 by Chhing last updated on 30/Mar/21

(x^2 −1)y′′−n(n+1)y=0 , n∈N Find solution that can be expanded in series help me

$$ \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}''−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\:\:,\:\:\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{that}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{expanded}\:\mathrm{in}\:\mathrm{series} \\ $$$$\mathrm{help}\:\mathrm{me} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Mar/21

y =Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n ⇒y^′ =Σ_(n=1) ^∞ na_n x^(n−1) and y^(′′) =Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) e ⇒(x^2 −1)Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) −p(p+1)Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =0 ⇒ Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^n −Σ_(n=2) ^∞ n(n−1)a_n x^(n−2) −p(p+1)Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =0 ⇒ Σ_(n=2) ^∞ {n(n−1)−p(p+1)}a_n x^n −p(p+1)−p(p+1)a_1 x −Σ_(n=0) ^∞ (n+2)(n+1)a_(n+2) x^n =0 ⇒ 2a_2 +6a_3 x +Σ_(n=2) ^∞ {(n(n−1)−p(p+1))a_n −(n+2)(n+1)a_(n+2) }x^n −p(p+1)−p(p+1)a_1 x+2a_2 +6a_3 x =0 ⇒ ⇒(n^2 −p^2 −n−p)a_n −(n+1)(n+2)a_(n+2) =0 ∀n≥2 and −p(p+1) +2a_2 =0 and(6a_3 −p(p+1)a_1 )=0 ...be continued...

$$\mathrm{y}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{''} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\right\}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x} \\ $$$$−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\left(\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right\}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{p}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2}\:\mathrm{and} \\ $$$$−\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\mathrm{and}\left(\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} −\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{0} \\ $$$$...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

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