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Question Number 138799 by TheSupreme last updated on 18/Apr/21

∫_0 ^(π/2) ln(tan(x)−α)dx=... α∈C

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}\right)−\alpha\right){dx}=... \\ $$$$\alpha\in\mathbb{C} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Apr/21

Φ=∫_0 ^(π/2) ln(tanx−α)dx ⇒Φ=_(tanx=t) ∫_0 ^∞ ln(t−α)(dt/(1+t^2 )) =∫_0 ^∞ ((ln(t−α))/(1+t^2 ))dt let α=x+iy ⇒t−α =t−x−iy=(√((t−x)^2 +y^2 ))e^(iarctan(−(y/(t−x)))) ⇒Φ=∫_0 ^∞ ((ln((√((t−x)^2 +y^2 )))−iarctan((y/(t−x))))/(t^2 +1))dt =(1/2)∫_0 ^∞ ((ln((t−x)^2 +y^2 ))/(t^2 +1))dt−i∫_0 ^∞ ((arctan((y/(t−x))))/(t^2 +1))dt we have ∫_0 ^∞ ((log((t−x)^2 +y^2 ))/(t^2 +1))dt =∫_0 ^∞ ((log(t^2 −2xt +x^2 +y^2 ))/(t^2 +1))dt 𝛟(x)=∫_0 ^∞ ((log(t^2 −2xt +x^2 +y^2 ))/(t^2 +1))dt ⇒ ϕ^′ (x)=∫_0 ^∞ ((−2t+2x)/((t^2 −2xt+x^2 +y^2 )(t^2 +1)))dt we must decompose F(t)=((−2t+2x)/((t^2 −2xt+x^2 +y^2 )(t^2 +1))) .... ∫_0 ^∞ ((arctan((y/(t−x))))/(t^2 +1))dt =∫_0 ^∞ ((+^− (π/2)−arctan(((t−x)/y)))/(t^2 +1))dt =+^(− ) (π^2 /4)−∫_0 ^∞ ((arctan(t−x))/(t^2 +1))dt +(π/2)arctany Ψ(x)=∫_0 ^∞ ((arctan(t−x))/(t^2 +1))dt ⇒Ψ^′ (x)=∫_0 ^∞ ((−1)/((1+(t−x)^2 )(t^2 +1)))dt =−∫_0 ^∞ (dt/((t^2 −2xt +x^2 +1)(t^2 +1))) rest decomposition...be continued...

$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{tanx}−\alpha\right)\mathrm{dx}\:\:\:\Rightarrow\Phi=_{\mathrm{tanx}=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}−\alpha\right)\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}−\alpha\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\:\mathrm{let}\:\alpha=\mathrm{x}+\mathrm{iy}\:\Rightarrow\mathrm{t}−\alpha\:=\mathrm{t}−\mathrm{x}−\mathrm{iy}=\sqrt{\left(\mathrm{t}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(−\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{t}−\mathrm{x}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\sqrt{\left(\mathrm{t}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{t}−\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\left(\mathrm{t}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\mathrm{i}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{t}−\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\boldsymbol{\mathrm{dt}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{have}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\boldsymbol{\mathrm{log}}\left(\left(\boldsymbol{\mathrm{t}}−\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}} \right)}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\boldsymbol{\mathrm{dt}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\boldsymbol{\mathrm{log}}\left(\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{xt}}\:+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}} \right)}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\boldsymbol{\mathrm{dt}} \\ $$$$\boldsymbol{\varphi}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xt}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{−\mathrm{2t}+\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xt}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{must}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{−\mathrm{2t}+\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xt}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:.... \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{t}−\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\overset{−} {+}\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{t}−\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\overset{−\:} {+}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{arctany} \\ $$$$\Psi\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow\Psi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{t}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xt}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{decomposition}...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 19/Apr/21

sorry ∫_0 ^∞ ((+^− (π/2)−arctan(((t−x)/y)))/(t^2 +1))dt =+^− (π^2 /4)−∫_0 ^∞ ((arctan((t/y)−(x/y)))/(t^2 +1))dt so we considere Ψ(x)=∫_0 ^∞ ((arctan((t/y)−(x/y)))/(t^2 +1))dt ⇒ Ψ^′ (y)=∫_0 ^∞ ((−1)/(y(1+((t/y)−(x/y))^2 )(t^2 +1)))dt=.....

$$\mathrm{sorry}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\overset{−} {+}\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{t}−\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\overset{−} {+}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{y}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{considere} \\ $$$$\Psi\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{y}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi^{'} \left(\mathrm{y}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{y}\left(\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{y}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}=..... \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 19/Apr/21

let try another way Φ=∫_0 ^∞ ((log(t−α))/(1+t^2 )) dt =Ψ(α) ⇒ Ψ^′ (α) =∫_0 ^∞ ((−1)/((t−α)(t^2 +1)))dt let decompose F(t) =(1/((t−α)(t^2 +1))) ⇒F(t)=(a/(t−α)) +((bt+c)/(t^2 +1)) a=(1/(α^2 +1)) ,lim_(t→+∞) tF(t)=0 =a+b ⇒b=−(1/(α^2 +1)) F(0)=−(1/α)=−(a/α) +c ⇒1=a−αc ⇒αc=a−1 ⇒c=((a−1)/α) =(((1/(α^2 +1))−1)/α) =−(α^2 /(α(α^2 +1)))=−(α/(α^2 +1)) ⇒F(t)=(1/((α^2 +1)(t−α))) +((−(1/(α^2 +1))t −(α/(α^2 +1)))/(t^2 +1)) ⇒∫_0 ^∞ F(t)dt =(1/(α^2 +1))∫_0 ^∞ (dt/(t−α))−(1/(2(α^2 +1)))∫_0 ^∞ ((2t)/(t^(2 ) +1))dt−(α/(α^2 +1))×(π/2) =(1/(α^2 +1))[log(((t−α)/( (√(t^(2 ) +1)))))]_0 ^∞ −((πα)/(α^2 +1)) =(1/(α^2 +1))(−log(−α))−((πα)/(2(α^2 +1))) ⇒Ψ(α)=−∫ ((log(−α))/(α^2 +1))dα −(π/4)log(1+α^2 ) +C....be continued...

$$\mathrm{let}\:\mathrm{try}\:\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}−\alpha\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\:=\Psi\left(\alpha\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi^{'} \left(\alpha\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\alpha\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\alpha\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\alpha}\:+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:,\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\alpha}=−\frac{\mathrm{a}}{\alpha}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{a}−\alpha\mathrm{c}\:\Rightarrow\alpha\mathrm{c}=\mathrm{a}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\alpha} \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\alpha}\:=−\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\alpha\left(\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}=−\frac{\alpha}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}−\alpha\right)} \\ $$$$+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{t}\:−\frac{\alpha}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\alpha}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\alpha^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\frac{\alpha}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left[\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{t}−\alpha}{\:\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{1}}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\frac{\pi\alpha}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left(−\mathrm{log}\left(−\alpha\right)\right)−\frac{\pi\alpha}{\mathrm{2}\left(\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\Psi\left(\alpha\right)=−\int\:\frac{\mathrm{log}\left(−\alpha\right)}{\alpha^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{d}\alpha \\ $$$$−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} \right)\:+\mathrm{C}....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

Answered by phanphuoc last updated on 18/Apr/21

u=tgx−> du/1+u^2 =dx I=∫_0 ^∞ ln(u+α)/u^2 +1du I=2πiRes(f(u),i)=πln(i+α)

$${u}={tgx}−>\:{du}/\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} ={dx} \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {ln}\left({u}+\alpha\right)/{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}{du} \\ $$$${I}=\mathrm{2}\pi{iRes}\left({f}\left({u}\right),{i}\right)=\pi{ln}\left({i}+\alpha\right) \\ $$

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