Question Number 140680 by bemath last updated on 11/May/21
$$\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{log}\:_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\geqslant\:\mathrm{log}\:_{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:} \left(\sqrt{\mathrm{5}−\mathrm{x}}\:\right) \\ $$
Answered by liberty last updated on 11/May/21
![(1) x+2> 0 ∧x+2 ≠1 ⇒x>−2 ∧x≠−1 (2)7x^2 −x^3 >0⇒x^2 (7−x)>0 ⇒ x < 7 ∧x≠ 0 (3)x^2 −3x > 0⇒x(x−3)>0 ⇒x<0 ∨ x > 3 (4) 5−x > 0 ⇒x < 5 (5) log _((x+2)) (7x^2 −x^3 )−log _((x+2)) (x^2 −3x) ≥ log _((x+2)) (5−x) ⇒log _((x+2)) (7x^2 −x^3 )−log _((x+2)) (x^2 −3x)−log (5−x)≥0 ⇒log _((x+2)) (7x^2 −x^3 )−[ log _((x+2)) (x^2 −3x)(5−x)]≥0 ⇒ ((7x^2 −x^3 −(x^2 −3x)(5−x))/(x+2−1)) ≥ 0 ⇒((7x^2 −x^3 −(5x^2 −x^3 −15x+3x^2 ))/(x+1)) ≥ 0 ⇒((15x−x^2 )/(x+1)) ≥ 0 ; ((x(15−x))/(x+1)) ≥ 0 ⇒x<−1 ∨ 0≤x≤15 Solution set is ⇒−2<x<−1 ∨ 3<x<5](Q140682.png)
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{x}+\mathrm{2}>\:\mathrm{0}\:\wedge\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\neq\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}>−\mathrm{2}\:\wedge\mathrm{x}\neq−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{7}−\mathrm{x}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{7}\:\wedge\mathrm{x}\neq\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\:>\:\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\vee\:\mathrm{x}\:>\:\mathrm{3} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{5}−\mathrm{x}\:>\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:<\:\mathrm{5} \\ $$$$\left(\mathrm{5}\right)\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\:\geqslant\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)−\mathrm{log}\:\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)−\left[\:\mathrm{log}\:_{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right)\right]\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{2}−\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{7x}^{\mathrm{2}} \cancel{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\left(\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} \cancel{−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{15x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{15x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:;\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{15}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}<−\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{15} \\ $$$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{set}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2}<\mathrm{x}<−\mathrm{1}\:\vee\:\mathrm{3}<\mathrm{x}<\mathrm{5}\: \\ $$