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Question Number 143098 by mnjuly1970 last updated on 10/Jun/21

.....Prove.... Σ_(n=1) ^∞ ((1/(sinh(πn))))^2 =(1/6) −(1/(2π)) ... ......

$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.....{Prove}....\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}{inh}\left(\pi{n}\right)}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\:\:\:... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:...... \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 10/Jun/21

4Σ_(n=1) ^∞ (e^(2πn) /((e^(2πn) −1)^2 )) ((sin h(πx))/(πx))=Π_(n=1) ^∞ (1+(x^2 /n^2 )) ⇒coth(πx)−(1/(πx))=Σ_(n=1) ^∞ (((2x)/n^2 )/(1+(x^2 /n^2 ))) ⇒((e^(2πx) +1)/(e^(2πx) −1))−(1/(πx))=2Σ_(n=1) ^∞ (x/(n^2 +x^2 )) ⇒1+(2/(e^(2πx) −1))−(1/(πx))=2Σ_(n=1) ^∞ (x/((n^2 +x^2 ))) ((−4πe^(2πx) )/((e^(2πx) −1)^2 ))+(1/(πx^2 ))=−2Σ_(n=1) ^∞ ((n^2 +x^2 −2x)/((n^2 +x^2 )^2 )) ⇒Σ_(x=1) ^∞ (e^(2πx) /((e^(2πx) −1)^2 ))=(1/4)Σ_(n=1) ^∞ (1/(π^2 x^2 ))+(1/2)Σ_(x=1) ^∞ Σ_(n=1) ^∞ (1/((n^2 +x^2 )))−((2x)/((n^2 +x^2 )^2 )) =(1/4)(.(π^2 /(π^2 6)))+(1/2)Φ=(1/(24))+Φ...

$$\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{e}^{\mathrm{2}\pi{n}} }{\left({e}^{\mathrm{2}\pi{n}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:{h}\left(\pi{x}\right)}{\pi{x}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow{coth}\left(\pi{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\pi{x}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\frac{\mathrm{2}{x}}{{n}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{e}^{\mathrm{2}\pi{x}} +\mathrm{1}}{{e}^{\mathrm{2}\pi{x}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\pi{x}}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}}{{n}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{{e}^{\mathrm{2}\pi{x}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\pi{x}}=\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}}{\left({n}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\frac{−\mathrm{4}\pi{e}^{\mathrm{2}\pi{x}} }{\left({e}^{\mathrm{2}\pi{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\pi{x}^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}}{\left({n}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{e}^{\mathrm{2}\pi{x}} }{\left({e}^{\mathrm{2}\pi{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\pi^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{x}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} \right)}−\frac{\mathrm{2}{x}}{\left({n}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{6}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Phi=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}+\Phi... \\ $$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 10/Jun/21

Sorry sir . I have tried

$${Sorry}\:{sir}\:.\:{I}\:\:{have}\:{tried}\: \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 10/Jun/21

grateful for your effort mr payan..

$$\:\:{grateful}\:{for}\:{your}\:{effort}\:{mr}\:{payan}.. \\ $$

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