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Question Number 143380 by Mathspace last updated on 13/Jun/21

developp at fourier serie f(x)=(3/(1+2cosx)) by use of two methods

$${developp}\:{at}\:{fourier}\:{serie} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{cosx}} \\ $$$${by}\:{use}\:{of}\:{two}\:{methods} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/21

method 1 f(x)=(3/(1+2cosx))=(3/(1+2((e^(ix) +e^(−ix) )/2)))=(3/(1+e^(ix) +e^(−ix) )) =_(e^(ix) =z) (3/(1+z +z^(−1) ))=((3z)/(z+z^2 +1))=((3z)/(z^2 +z+1))=Ψ(z) z^2 +z+1=0→Δ=−3 ⇒z_1 =((−1+i(√3))/2)=e^((2iπ)/3) and z_2 =((−1−i(√3))/2)=e^(−((2iπ)/3)) ⇒Ψ(z)=((3z)/((z−z_1 )(z−z_2 ))) =((3z)/(z_1 −z_2 ))((1/(z−z_1 ))−(1/(z−z_2 ))) =(3/(i(√3)))((z/(z−z_1 ))−(z/(z−z_2 )))=−i(√3)(((z−z_1 +z_1 )/(z−z_1 ))−((z−z_2 +z_2 )/(z−z_2 ))) =−i(√3)((z_1 /(z−z_1 ))−(z_2 /(z−z_2 )))=i(√3)((z_1 /(z_1 −z))−(z_2 /(z_2 −z))) =i(√3){(1/(1−(z/z_1 )))−(1/(1−(z/z_2 )))} we have ∣(z/z_1 )∣=∣(z/z_2 )∣=1 ⇒ Ψ(z)=i(√3)(Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_1 ^n )−Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_2 ^n )) =i(√3)Σ_(n=0) ^∞ (e^(−((2inπ)/3)) +e^((2inπ)/3) )z^n =i(√3)Σ_(n=0) ^∞ 2cos(((2nπ)/3))z^n =2i(√3)Σ_(n=0) ^∞ cos(((2nπ)/3))e^(inx) =2i(√3)Σ_(n=0) ^∞ cos(((2nπ)/3))(cos(nx)+isin(nx)) =2i(√3)Σ_(n=0) ^∞ cos(((2nπ)/3))cos(nx)−2(√3)Σ_(n=0) ^∞ cos(((2nπ)/3))sin(nx) butΨ(z)=f(x) real ⇒f(x)=−2(√3)Σ_(n=0) ^∞ cos(((2nπ)/3))sin(nx)

$$\mathrm{method}\:\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{2cosx}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} } \\ $$$$=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} =\mathrm{z}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{z}\:+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{3z}}{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}+\mathrm{1}}=\Psi\left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta=−\mathrm{3}\:\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\Psi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{3z}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{3z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} +\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} +\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}}−\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} −\mathrm{z}}\right) \\ $$$$=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }}\right\}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\mid=\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2in}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2in}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} \\ $$$$=\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{nx}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\mathrm{but}\Psi\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{real}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2n}\pi}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$

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