Question Number 145190 by qaz last updated on 03/Jul/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x},\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=? \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 03/Jul/21
![(1)f(x)+f(((x−1)/x))= tan^(−1) (x) replace x→((x−1)/x) (2)f(((x−1)/x))+f(((((x−1)/x)−1)/((x−1)/x)))=tan^(−1) (((x−1)/x)) ⇒f(((x−1)/x))+f((1/(1−x)))=tan^(−1) (((x−1)/x)) replace x→(1/(1−x)) (3)f((1/(1−x)))+f((((1/(1−x))−1)/(1/(1−x))))=tan^(−1) ((1/(1−x))) ⇒f((1/(1−x)))+f(x)= tan^(−1) ((1/(1−x))) sum equation (1),(2),(3) ⇒2 [f(x)+f((1/(1−x)))+f(((x−1)/x))]=tan^(−1) (x)+tan^(−1) (((x−1)/x))+tan^(−1) ((1/(1−x))) ⇒2 [f(x)+tan^(−1) (((x−1)/x))]=tan^(−1) (x)+tan^(−1) (((x−1)/x))+tan^(−1) ((1/(1−x))) 2f(x)=tan^(−1) (x)+tan^(−1) ((1/(1−x)))−tan^(−1) (((x−1)/x)) f(x)=(1/2)[ tan^(−1) (x)+tan^(−1) ((1/(1−x)))−tan^(−1) (((x−1)/x))] =(1/2)[ tan^(−1) (((x+(1/(1−x)))/(1−(x/(1−x)))))−tan^(−1) (((x−1)/x))] =(1/2)[ tan^(−1) (((x+1−x^2 )/(1−2x)))−tan^(−1) (((x−1)/x))] =(1/2)tan^(−1) (((((x+1−x^2 )/(1−2x))−((x−1)/x))/(1+(((x+1−x^2 )(x−1))/((1−2x)x))))) =(1/2)tan^(−1) (((x^2 +x−x^3 −(1−2x)(x−1))/(1−2x^2 +(x−1)(x+1−x^2 ))))](Q145199.png)
$$\left(\mathrm{1}\right){f}\left({x}\right)+{f}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right) \\ $$$$\:{replace}\:{x}\rightarrow\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right){f}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)+{f}\left(\frac{\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}}{\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$${replace}\:{x}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right){f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)+{f}\left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)+{f}\left({x}\right)=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right) \\ $$$${sum}\:{equation}\:\left(\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{2}\right),\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\:\left[{f}\left({x}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)+{f}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)\right]=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\:\left[{f}\left({x}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)\right]=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right) \\ $$$$\mathrm{2}{f}\left({x}\right)=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)\right]\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}}{\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{1}−{x}}}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}+\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}\right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{{x}+\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}}−\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}}{\mathrm{1}+\frac{\left({x}+\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right){x}}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}−{x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}\right) \\ $$
Commented by qaz last updated on 03/Jul/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$