Question Number 145359 by imjagoll last updated on 04/Jul/21
$$\mathrm{How}\:\mathrm{many}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{will}\:\mathrm{there}\:\mathrm{be} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{875}^{\mathrm{16}} \:? \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21
$$\mathrm{If}\:\mathrm{N}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{n}−\mathrm{digit}\:\mathrm{number}\:: \\ $$$$\mathrm{N}\:=\:{a}_{{n}−\mathrm{1}} {a}_{{n}−\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{3}} ....{a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\mathrm{N}\:=\:{a}_{{n}−\mathrm{1}} ,{a}_{{n}−\mathrm{2}} {a}_{{n}−\mathrm{3}} ...{a}_{\mathrm{3}} {a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{1}} ×\mathrm{10}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{10}} \mathrm{N}\:=\:\mathrm{log}_{\mathrm{10}} \left({a}_{{n}−\mathrm{1}} ,{a}_{{n}−\mathrm{2}} ...{a}_{\mathrm{3}} {a}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{1}} \right)+{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:{n}\:=\:\lfloor\mathrm{log}_{\mathrm{10}} \mathrm{N}\rfloor+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{If}\:\mathrm{N}\:=\:\mathrm{875}^{\mathrm{16}} \:: \\ $$$${n}\:=\:\lfloor\mathrm{log}_{\mathrm{10}} \mathrm{875}^{\mathrm{16}} \rfloor+\mathrm{1} \\ $$$${n}\:=\:\lfloor\mathrm{16log}_{\mathrm{10}} \mathrm{875}\rfloor+\mathrm{1} \\ $$$${n}\:=\:\lfloor\mathrm{47},\mathrm{72}...\rfloor+\mathrm{1} \\ $$$${n}\:=\:\mathrm{48} \\ $$