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Question Number 145390 by puissant last updated on 04/Jul/21
$$\varphi\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)} −\mathrm{e}}{\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{montrer}\:\mathrm{que}\:\varphi\:\mathrm{se}\:\mathrm{prolonge}\:\mathrm{par}\:\mathrm{continuit}\acute {\mathrm{e}} \\ $$$$\mathrm{en}\:\mathrm{0}.\:\mathrm{on}\:\mathrm{note}\:\psi\:\mathrm{son}\:\mathrm{prolongement},\:\mathrm{montrer} \\ $$$$\mathrm{que}\:\psi\:\mathrm{est}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}rivable}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}..\:\:\mathrm{Ainsi}\:\mathrm{donner}\:\mathrm{une} \\ $$$$\acute {\mathrm{e}quation}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tangente},\:\mathrm{position}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{courbe} \\ $$$$\mathrm{par}\:\mathrm{rapport}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tangente},\:\mathrm{et}\:\mathrm{faire}\:\mathrm{le}\:\mathrm{dessin}.. \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21
![ϕ(x) = ln(((e^(x+cosx) −e)/(x+x^2 ))) ϕ(x) ∼_0 ln(((e^(x+1−(x^2 /2)) −e)/(x+x^2 ))) ϕ(x) ∼_0 ln(e((e^(x−(x^2 /2)) −1)/(x+x^2 ))) ϕ(x) ∼_0 ln(e(((1+x−(x^2 /2))−1)/(x+x^2 ))) ϕ(x) ∼_0 ln(e((1−(x/2))/(1+x))) ϕ(x) ∼_0 ln(e) = 1 ϕ admet une limite finie en 0 et peut donc etre prolongee par continuite en 0 Soit ψ son prologement : { ((ψ(x) = ϕ(x) si x≠0)),((ψ(0) = 1)) :} ((ψ(0+h)−ψ(0))/h) = ((ϕ(h)−1)/h) = (1/h)[ln(((e^(h+cosh) −e)/(h+h^2 )))−1] ∼_0 (1/h)[ln(((e^(h+1−(h^2 /2)) −e)/(h+h^2 )))−1] ∼_0 (1/h)[ln(e((e^(h−(h^2 /2)) −1)/(h+h^2 )))−1] ∼_0 (1/h)[ln(e((1+h−(h^2 /2)−1)/(h+h^2 )))−1] ∼_0 (1/h)[ln(e((1−(h/2))/(1+h)))−1] ∼_0 (1/h)[lne+ln(((1−(h/2))/(1+h)))−1] ∼_0 (1/h)ln((1−(h/2))(1−h)) ∼_0 (1/h)ln(1−((3h)/2)) ∼_0 (1/h)(−((3h)/2)) = −(3/2) Le taux d′accroissement de ψ admet une limite finie egale a −(3/2) en 0. ψ est donc derivable en 0 et ψ′(0)=−(3/2) Equation de la tangente en 0 : y−ψ(0) = ψ′(0)(x−0) y−1 = −(3/2)x y = −(3/2)x+1 ...](Q145404.png)
$$\varphi\left({x}\right)\:=\:\mathrm{ln}\left(\frac{{e}^{{x}+\mathrm{cos}{x}} −{e}}{{x}+{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\varphi\left({x}\right)\:\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\mathrm{ln}\left(\frac{{e}^{{x}+\mathrm{1}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} −{e}}{{x}+{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\varphi\left({x}\right)\:\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\mathrm{ln}\left({e}\frac{{e}^{{x}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}}{{x}+{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\varphi\left({x}\right)\:\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\mathrm{ln}\left({e}\frac{\left(\mathrm{1}+{x}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}}{{x}+{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\varphi\left({x}\right)\:\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\mathrm{ln}\left({e}\frac{\mathrm{1}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+{x}}\right) \\ $$$$\varphi\left({x}\right)\:\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\mathrm{ln}\left({e}\right)\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\varphi\:\mathrm{admet}\:\mathrm{une}\:\mathrm{limite}\:\mathrm{finie}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:\mathrm{peut} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{prolongee}\:\mathrm{par}\:\mathrm{continuite}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\psi\:\mathrm{son}\:\mathrm{prologement}\:: \\ $$$$\begin{cases}{\psi\left({x}\right)\:=\:\varphi\left({x}\right)\:\mathrm{si}\:{x}\neq\mathrm{0}}\\{\psi\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\psi\left(\mathrm{0}+{h}\right)−\psi\left(\mathrm{0}\right)}{{h}}\:=\:\frac{\varphi\left({h}\right)−\mathrm{1}}{{h}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left[\mathrm{ln}\left(\frac{{e}^{{h}+\mathrm{cos}{h}} −{e}}{{h}+{h}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left[\mathrm{ln}\left(\frac{{e}^{{h}+\mathrm{1}−\frac{{h}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} −{e}}{{h}+{h}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left[\mathrm{ln}\left({e}\frac{{e}^{{h}−\frac{{h}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}}{{h}+{h}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left[\mathrm{ln}\left({e}\frac{\mathrm{1}+{h}−\frac{{h}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{{h}+{h}^{\mathrm{2}} }\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left[\mathrm{ln}\left({e}\frac{\mathrm{1}−\frac{{h}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+{h}}\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left[\mathrm{ln}{e}+\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\frac{{h}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+{h}}\right)−\mathrm{1}\right] \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\mathrm{ln}\left(\left(\mathrm{1}−\frac{{h}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}−{h}\right)\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}{h}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{0}} {\sim}\:\frac{\mathrm{1}}{{h}}\left(−\frac{\mathrm{3}{h}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{taux}\:\mathrm{d}'\mathrm{accroissement}\:\mathrm{de}\:\psi\:\mathrm{admet} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{limite}\:\mathrm{finie}\:\mathrm{egale}\:\mathrm{a}\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}. \\ $$$$\psi\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{derivable}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:\psi'\left(\mathrm{0}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Equation}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tangente}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:: \\ $$$${y}−\psi\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\psi'\left(\mathrm{0}\right)\left({x}−\mathrm{0}\right) \\ $$$${y}−\mathrm{1}\:=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x} \\ $$$${y}\:=\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1} \\ $$$$... \\ $$