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Question Number 145553 by puissant last updated on 05/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 06/Jul/21

On a vu dans une question precedente que (Q.145557) : C_(p+q) ^n = Σ_(k=0) ^n C_p ^k C_q ^(n−k) (1) Changeons d′indices : n devient k p+q devient n k devient t (1) : C_n ^k = Σ_(t=0) ^k C_p ^t C_(n−p) ^(k−t) (1) : C_n ^k = Σ_(t=1) ^k C_p ^t C_(n−p) ^(k−t) −C_p ^0 C_(n−p) ^k alors Σ_(t=1) ^k C_p ^t C_(n−p) ^(k−t) = C_n ^k +C_(n−p) ^k Dans cette formule, k et p jouent des roles symetriques. k et p peuvent etre interchanges. On peut se limiter au minimum des deux : Σ_(t=1) ^(min(k,p)) C_p ^t C_(n−p) ^(k−t) = C_n ^k +C_(n−p) ^k Par contre, dans la formule, je trouve un + et non un −.

$${On}\:{a}\:{vu}\:{dans}\:{une}\:{question}\: \\ $$$${precedente}\:{que}\:\left(\mathrm{Q}.\mathrm{145557}\right)\:: \\ $$$$\mathrm{C}_{{p}+{q}} ^{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{k}} \mathrm{C}_{{q}} ^{{n}−{k}} \:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${Changeons}\:{d}'{indices}\:: \\ $$$${n}\:{devient}\:{k} \\ $$$${p}+{q}\:{devient}\:{n} \\ $$$${k}\:{devient}\:{t} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:\mathrm{C}_{{n}} ^{{k}} \:=\:\underset{{t}=\mathrm{0}} {\overset{{k}} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{t}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−{t}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:\mathrm{C}_{{n}} ^{{k}} \:=\:\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{t}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−{t}} −\mathrm{C}_{{p}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}} \\ $$$$\mathrm{alors}\:\:\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{t}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−{t}} =\:\mathrm{C}_{{n}} ^{{k}} +\mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}} \\ $$$${Dans}\:{cette}\:{formule},\:{k}\:{et}\:{p}\:{jouent}\:{des} \\ $$$${roles}\:{symetriques}.\:{k}\:{et}\:{p}\:{peuvent}\:{etre} \\ $$$${interchanges}.\:{On}\:{peut}\:{se}\:{limiter} \\ $$$${au}\:{minimum}\:{des}\:{deux}\:: \\ $$$$\underset{{t}=\mathrm{1}} {\overset{{min}\left({k},{p}\right)} {\sum}}\mathrm{C}_{{p}} ^{{t}} \mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}−{t}} =\:\mathrm{C}_{{n}} ^{{k}} +\mathrm{C}_{{n}−{p}} ^{{k}} \\ $$$${Par}\:{contre},\:{dans}\:{la}\:{formule},\:{je} \\ $$$${trouve}\:{un}\:+\:{et}\:{non}\:{un}\:−. \\ $$

Commented by puissant last updated on 06/Jul/21

monsieur je pense que c′est + ou vous avez mis − pour la premiere fois..

$$\mathrm{monsieur}\:\mathrm{je}\:\mathrm{pense}\:\mathrm{que}\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:+\:\mathrm{ou}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{avez} \\ $$$$\mathrm{mis}\:−\:\mathrm{pour}\:\mathrm{la}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{fois}.. \\ $$

Commented by puissant last updated on 06/Jul/21

car si on detache le premier terme il sort en somme

$$\mathrm{car}\:\mathrm{si}\:\mathrm{on}\:\mathrm{detache}\:\mathrm{le}\:\mathrm{premier}\:\mathrm{terme}\:\mathrm{il}\:\mathrm{sort}\:\mathrm{en}\:\mathrm{somme} \\ $$

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