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Question Number 146001 by puissant last updated on 10/Jul/21

Soit p∈End(E). on pose q=id_E −p a) montrer que p est un projecteur si et seulement si q est un projecteur.. b) on suppose que p est un projecteur et on considere L={f∈End(E)/∃u∈End(E),f=u○p} et M={g∈End(E)/∃v∈End(E), g=v○q}. montrer que L et M sont des sous espaces vectoriels supplementaires de End(E)..

$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{p}\in\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right).\:\mathrm{on}\:\mathrm{pose}\:\mathrm{q}=\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{p} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\:\mathrm{montrer}\:\mathrm{que}\:\mathrm{p}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{projecteur}\:\mathrm{si}\:\mathrm{et}\: \\ $$$$\mathrm{seulement}\:\mathrm{si}\:\mathrm{q}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{projecteur}.. \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\:\mathrm{on}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{que}\:\mathrm{p}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{projecteur}\:\mathrm{et}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{considere}\:\mathrm{L}=\left\{\mathrm{f}\in\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right)/\exists\mathrm{u}\in\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right),\mathrm{f}=\mathrm{u}\circ\mathrm{p}\right\} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{M}=\left\{\mathrm{g}\in\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right)/\exists\mathrm{v}\in\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right),\:\mathrm{g}=\mathrm{v}\circ\mathrm{q}\right\}. \\ $$$$\mathrm{montrer}\:\mathrm{que}\:\mathrm{L}\:\mathrm{et}\:\mathrm{M}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{des}\:\mathrm{sous}\:\mathrm{espaces}\: \\ $$$$\mathrm{vectoriels}\:\mathrm{supplementaires}\:\mathrm{de}\:\mathrm{End}\left(\mathrm{E}\right).. \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 10/Jul/21

a) p est un projecteur ⇔ p^2 = p dans ce cas q^2 = (id_E −p)o(id_E −p) q^2 = id_E oid_E −poid_E −id_E op+pop q^2 = id_E −p−p+p^2 q^2 = id_E −2p+p^2 q^2 = id_E −2p^2 +p^2 q^2 = id_E −p^2 q^2 = id_E −p = q p^2 = p ⇔ q^2 = q : CQFD

$$\left.\mathrm{a}\right) \\ $$$$\mathrm{p}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{projecteur}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{p} \\ $$$$\mathrm{dans}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{cas} \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{p}\right)\mathrm{o}\left(\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{p}\right) \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{id}_{\mathrm{E}} \mathrm{oid}_{\mathrm{E}} −\mathrm{poid}_{\mathrm{E}} −\mathrm{id}_{\mathrm{E}} \mathrm{op}+\mathrm{pop} \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{p}−\mathrm{p}+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{2p}+\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{id}_{\mathrm{E}} −\mathrm{p}\:=\:\mathrm{q} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{p}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{q}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{q}\::\:\mathrm{CQFD} \\ $$

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