Question Number 148132 by Jonathanwaweh last updated on 25/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21

1.  ABCD est un rectangle et possede  donc 4 angles droits que les  bissectrices divisent a 45°.  On a donc :  BAE^(�)  = EBA^(�)  = GDC^(�)  = GDC^(�)  = 45° (1)  Les triangles ABE et DGC sont donc  des triangles isoceles rectangles  respectivement en E et G.  En outre AB = DC (2)  Il decoule des remarques (1) et (2)  que les 2 triangles ABE et DGC sont  superposables.    2.  Soit M le milieu du segment [AD]  et N le milieu du segment [BC].  On considere la droite Δ = (MN).  (on pourrait tout aussi bien  definir Δ a partir des points F et H)  La symetrie plane d′axe Δ (ou  reflexion axiale d′axe Δ) est une  isometrie qui transforme A en D, D en  A, B en C, C en B, G en E, E en G, et   H et F en eux−memes.  La symetrie etant une isometrie, elle  conserve les angles et les distances, et  en particulier elle transforme le  triangle ABE en triangle DGC et  reciproquement, comme la symetrie  est involutive, elle transforme le  triangle DGC en triangle ABE.    3.  De la remarque (1), il vient que :  AEB^(�)  = CGD^(�)  = 90°.  En faisant pivoter la figure de 90°, la  logueur jouant le role de la largeur et  la largeur jouant le role de la longueur,  on deduit avec le meme raisonnement  GHE^(�)  = EFG^(�)  = 90°.    En resume, le quadrilatere EFGH   a quatre angles droits, c′est donc un  rectangle. (3)  Mais comme la symetrie d′axe Δ est  une isometrie, elle conserve  les  distances et donc :  FE = FG et HG = HE (4)  De (3) et (4), il vient que EFGH  est un carre.    4.  Pythagore help me !  • AE^2 +EB^2  = AB^2  = a^2   2AE^2  = a^2  ⇒ AE = (a/( (√2)))   (5)  • AH^2 +HD^2  = AD^2  = b^2   2AH^2  = b^2  ⇒ AH = (b/( (√2)))   (6)  Soit c le cote du carre. Avec (5) et (6) :  c = AE−AH = ((a−b)/( (√2)))    Remarque : si le rectangle initial  devient carre, c′est−a−dire si a = b  alors c = 0. Dans ce cas le carre EFGH  est reduit a un point. C′est rigolo.