Question Number 148151 by puissant last updated on 25/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21

1. (u_n )_(n∈N^∗ ) est de type M. Donc ∀n∈N^∗ , u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) alors u_n −C = ((1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) )−C u_n −C = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) −(1/n)Σ_(k=1) ^n C u_n −C = (1/n)Σ_(k=1) ^n (u_(n+k) −C) et donc la suite (u_n −C)_(n∈N^∗ ) est de type M. 2. (u_n )_(n∈N^∗ ) est de type M. Donc ∀n∈N^∗ , u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) Si la suite (u_n ) est croissante alors les termes u_(n+k) sont tous plus grands que u_n et donc u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) ≤ (1/n)(nu_n ) Soit ∀n∈N^∗ , u_n ≤ u_n ce qui est possible uniquement en cas d′egalite stricte. Si un seul terme de la somme etait strictement superieur a u_n alors on aboutirait a la contradiction u_n < u_n ce qui est absurde. En conclusion, toute suite croissante au sens large de M est constante. 3. (u_n )_(n∈N^∗ ) est de type M. Donc ∀n∈N^∗ , u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) (1) Si les u_n sont de la forme an^2 +bn+c (1) : an^2 +bn+c = (1/n)Σ_(k=1) ^n (a(n+k)^2 +b(n+k)+c) an^2 +bn+c = (1/n)Σ_(k=1) ^n (ak^2 +k(2an+b)+an^2 +bn+c) an^2 +bn+c = (1/n)Σ_(k=1) ^n (ak^2 +k(2an+b))+an^2 +bn+c ⇒ Σ_(k=1) ^n (ak^2 +k(2an+b)) = 0 (2) (2) n′est possible que quand a = b = 0.