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Question Number 148151 by puissant last updated on 25/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21

1. (u_n )_(n∈N^∗ ) est de type M. Donc ∀n∈N^∗ , u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) alors u_n −C = ((1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) )−C u_n −C = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) −(1/n)Σ_(k=1) ^n C u_n −C = (1/n)Σ_(k=1) ^n (u_(n+k) −C) et donc la suite (u_n −C)_(n∈N^∗ ) est de type M. 2. (u_n )_(n∈N^∗ ) est de type M. Donc ∀n∈N^∗ , u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) Si la suite (u_n ) est croissante alors les termes u_(n+k) sont tous plus grands que u_n et donc u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) ≤ (1/n)(nu_n ) Soit ∀n∈N^∗ , u_n ≤ u_n ce qui est possible uniquement en cas d′egalite stricte. Si un seul terme de la somme etait strictement superieur a u_n alors on aboutirait a la contradiction u_n < u_n ce qui est absurde. En conclusion, toute suite croissante au sens large de M est constante. 3. (u_n )_(n∈N^∗ ) est de type M. Donc ∀n∈N^∗ , u_n = (1/n)Σ_(k=1) ^n u_(n+k) (1) Si les u_n sont de la forme an^2 +bn+c (1) : an^2 +bn+c = (1/n)Σ_(k=1) ^n (a(n+k)^2 +b(n+k)+c) an^2 +bn+c = (1/n)Σ_(k=1) ^n (ak^2 +k(2an+b)+an^2 +bn+c) an^2 +bn+c = (1/n)Σ_(k=1) ^n (ak^2 +k(2an+b))+an^2 +bn+c ⇒ Σ_(k=1) ^n (ak^2 +k(2an+b)) = 0 (2) (2) n′est possible que quand a = b = 0.

$$\mathrm{1}. \\ $$$$\left({u}_{{n}} \right)_{{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{type}\:\mathcal{M}. \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\forall{n}\in\mathbb{N}^{\ast} ,\:{u}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{n}+{k}} \\ $$$$\mathrm{alors}\:{u}_{{n}} −\mathrm{C}\:=\:\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{n}+{k}} \right)−\mathrm{C} \\ $$$${u}_{{n}} −\mathrm{C}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{n}+{k}} −\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{C} \\ $$$${u}_{{n}} −\mathrm{C}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({u}_{{n}+{k}} −\mathrm{C}\right) \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{la}\:\mathrm{suite}\:\left({u}_{{n}} −\mathrm{C}\right)_{{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{type}\:\mathcal{M}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}. \\ $$$$\left({u}_{{n}} \right)_{{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{type}\:\mathcal{M}. \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\forall{n}\in\mathbb{N}^{\ast} ,\:{u}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{n}+{k}} \\ $$$$\mathrm{Si}\:\mathrm{la}\:\mathrm{suite}\:\left({u}_{{n}} \right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{croissante}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{termes}\:{u}_{{n}+{k}} \:\mathrm{sont}\:\mathrm{tous}\:\mathrm{plus}\:\mathrm{grands}\:\mathrm{que} \\ $$$${u}_{{n}} \mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:{u}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{n}+{k}} \:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left({nu}_{{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\forall{n}\in\mathbb{N}^{\ast} ,\:{u}_{{n}} \:\leqslant\:{u}_{{n}} \:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{possible}\:\mathrm{uniquement}\:\mathrm{en}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{d}'\mathrm{egalite} \\ $$$$\mathrm{stricte}.\:\mathrm{Si}\:\mathrm{un}\:\mathrm{seul}\:\mathrm{terme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{somme} \\ $$$$\mathrm{etait}\:\mathrm{strictement}\:\mathrm{superieur}\:\mathrm{a}\:{u}_{{n}} \:\mathrm{alors}\: \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{aboutirait}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{contradiction}\: \\ $$$${u}_{{n}} \:<\:{u}_{{n}} \:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{absurde}. \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{conclusion},\:\mathrm{toute}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{croissante} \\ $$$$\mathrm{au}\:\mathrm{sens}\:\mathrm{large}\:\mathrm{de}\:\mathcal{M}\:\mathrm{est}\:\mathrm{constante}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}. \\ $$$$\left({u}_{{n}} \right)_{{n}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{type}\:\mathcal{M}. \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\forall{n}\in\mathbb{N}^{\ast} ,\:{u}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{n}+{k}} \:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Si}\:\mathrm{les}\:{u}_{{n}} \mathrm{sont}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{forme}\:{an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:{an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({a}\left({n}+{k}\right)^{\mathrm{2}} +{b}\left({n}+{k}\right)+{c}\right) \\ $$$${an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({ak}^{\mathrm{2}} +{k}\left(\mathrm{2}{an}+{b}\right)+{an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c}\right) \\ $$$${an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({ak}^{\mathrm{2}} +{k}\left(\mathrm{2}{an}+{b}\right)\right)+{an}^{\mathrm{2}} +{bn}+{c} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({ak}^{\mathrm{2}} +{k}\left(\mathrm{2}{an}+{b}\right)\right)\:=\:\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{que}\:\mathrm{quand}\:{a}\:=\:{b}\:=\:\mathrm{0}. \\ $$

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