Question Number 148237 by puissant last updated on 26/Jul/21

f(t)=sin(pt) fourier serie..

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21

f est une fonction impaire et donc a_0 = 0. Les autres a_n sont nuls egalement. La periode T de f est ((2π)/p). • Calculons b_1 a part : b_1 = (2/T)∫_(−(T/2)) ^(+(T/2)) f(t)sin(((2πt)/T)) dt b_1 = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) sin(pt)sin(pt) dt b_1 = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) (1/2)(1−cos(2pt)) dt b_1 = (p/(2π))[t−((sin(2pt))/(2p))]_(−(π/p)) ^(+(π/p)) = 1 • Calculons les autres b_n , n> 1 : b_n = (2/T)∫_(−(T/2)) ^(+(T/2)) f(t)sin(((2πnt)/T)) dt b_n = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) sin(pt)sin(pnt) dt b_n = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) (1/2)[cos(pnt−pt)−cos(pnt+pt)] dt b_n = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) (1/2)[cos((n−1)pt)−cos((n+1)pt)] dt b_n = (p/(2π))[((sin((n−1)pt))/(n−1))−((sin((n+1)pt))/(n+1))]_(−(π/p)) ^(+(π/p)) b_n = (p/π)[((sin((n−1)π))/(n−1))−((sin((n+1)π))/(n+1))]_(−(π/p)) ^(+(π/p)) b_n = (p/π)((((−1)^(n−1) )/(n−1))−(((−1)^(n+1) )/(n+1))) b_n = −((p(−1)^n )/π)((1/(n−1))−(1/(n+1))) b_n = −((p(−1)^n )/(π(n^2 −1))) Remarque : dans l′expression de b_n , le denominateur est nul pour n = 1. C′est pour ca qu′on a pris soin de calculer b_1 a part. Resultat des courses : Sur une periode T = ((2π)/p), on a: f(t) = sin(pt) = sin(pt)−(p/π)Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 −1))sin(pnt)

Commented byOlaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21

J′ai rectifie une erreur de calcul. la somme qui apparait est bien sur nulle. Une fonction sinusoidale se confond avec sa serie de Fourier sur sa periode. En clair, la serie de Fourier de sin(pt) sur ((2π)/p) est sin(pt) tout simplement.Mais on peut calculer une serie de Fourier sur une periode tronquee. La, on a une serie non nulle. (je ne suis pas prof)