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Question Number 148242 by puissant last updated on 26/Jul/21

Answered by Jonathanwaweh last updated on 26/Jul/21

soit Aappartenant a ε on a got(A)=g(A^→ +V^→ ) =g(A)^→ +g(V)^→ de meme tog(A)=V^→ +g(A)^→ or got=tog alors g(A)+g(V)=V+g(A) d^. ou g(V)=V .supposons maintenant que g(V)=V et montrons que got=tog soit A∈ε on a got(A)=g(A^→ +V^→ ) =g(A)+g(V) or g(V)=V donc got(A)=g(A)+V =tog(A) d ou got=tog. par jonathan....

$${soit}\:\:{Aappartenant}\:{a}\:\varepsilon\:{on}\:{a}\:{got}\left({A}\right)={g}\left(\overset{\rightarrow} {{A}}+\overset{\rightarrow} {{V}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={g}\left({A}\overset{\rightarrow} {\right)}+{g}\left({V}\overset{\rightarrow} {\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{de}\:{meme}\:{tog}\left({A}\right)=\overset{\rightarrow} {{V}}+{g}\left({A}\overset{\rightarrow} {\right)} \\ $$$${or}\:\:{got}={tog}\:{alors}\:{g}\left({A}\right)+{g}\left({V}\right)={V}+{g}\left({A}\right) \\ $$$${d}^{.} {ou}\:{g}\left({V}\right)={V} \\ $$$$ \\ $$$$.{supposons}\:\:{maintenant}\:{que}\:\:{g}\left({V}\right)={V}\:{et}\:{montrons}\:{que}\:{got}={tog} \\ $$$${soit}\:{A}\in\varepsilon\:{on}\:{a}\:{got}\left({A}\right)={g}\left(\overset{\rightarrow} {{A}}+\overset{\rightarrow} {{V}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={g}\left({A}\right)+{g}\left({V}\right) \\ $$$${or}\:{g}\left({V}\right)={V}\:{donc}\:\:{got}\left({A}\right)={g}\left({A}\right)+{V} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={tog}\left({A}\right) \\ $$$${d}\:{ou}\:{got}={tog}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{par}\:\:{jonathan}.... \\ $$$$ \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21

Pour tout vecteur u^→ ∈ε, l′expression de t_v^→ est simplement t_v^→ (u^→ ) = u^→ +v^→ En outre, g est une application affine et son endomorphisme associe respecte donc les combinaisons lineaires : ∀(a_1 ,a_2 )∈R^2 , ∀(u_1 ^→ ,u_2 ^→ )∈ε^2 g^→ (a_1 u_1 ^→ +a_2 u_2 ^→ ) = a_1 g^→ (u_1 ^→ )+a_2 g^→ (u_2 ) On va se servir de ces remarques pour la suite. (a) ∀u^→ ∈ε, t_v^→ og^→ (u^→ ) = g^→ (u^→ )+v^→ (1) (par definition de la translation) ∀u^→ ∈ε, g^→ ot_v^→ (u^→ ) = g(u^→ +v^→ ) = g^→ (u^→ )+g^→ (v^→ ) (2) (par definition de g) Pour avoir egalite entre (1) et (2), c′est−a−dire pour avoir t_v^→ og = got_v^→ , il faut necessairement que g^→ (v^→ ) = v^→ . CQFD. (b) Reciproque. Par hypothese g^→ (v^→ ) = v^→ . ∀u^→ ∈ε, t_v^→ og^→ (u^→ ) = g^→ (u^→ )+v^→ (3) ∀u^→ ∈ε, g^→ ot_v^→ (u^→ ) = g(u^→ +v^→ ) = g^→ (u^→ )+g^→ (v^→ ) = g^→ (u^→ )+v^→ (grace a l′hypothese) (4) On a egalite parfaite entre (3) et (4). Et donc g^→ (v^→ ) = v^→ ⇒ t_v^→ og = got_v^→ . CQFD A partir de (a) et (b), on voit bien que la proposition est valable dans les deux sens. C′est une relation d′equivalence. On en deduit que toute composition d′une application affine avec une translation est egale a sa composition inverse si, et seulement si, elle laisse inchange le vecteur de translation.

$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{vecteur}\:\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\mathrm{l}'\mathrm{expression} \\ $$$$\mathrm{de}\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{simplement}\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}} \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{outre},\:{g}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{affine} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{son}\:\mathrm{endomorphisme}\:\mathrm{associe}\:\:\mathrm{respecte} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{les}\:\mathrm{combinaisons}\:\mathrm{lineaires}\:: \\ $$$$\forall\left({a}_{\mathrm{1}} ,{a}_{\mathrm{2}} \right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{2}} ,\:\forall\left(\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} ,\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{2}} \right)\in\varepsilon^{\mathrm{2}} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{g}}\left({a}_{\mathrm{1}} \overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:{a}_{\mathrm{1}} \overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} \right)+{a}_{\mathrm{2}} \overset{\rightarrow} {{g}}\left({u}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{va}\:\mathrm{se}\:\mathrm{servir}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ces}\:\mathrm{remarques}\:\mathrm{pour} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{suite}. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{translation}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\overset{\rightarrow} {{g}}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:{g}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{de}\:{g}\right) \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{avoir}\:\mathrm{egalite}\:\mathrm{entre}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{2}\right), \\ $$$$\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{avoir} \\ $$$${t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}{g}\:=\:{g}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} ,\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:\mathrm{necessairement} \\ $$$$\mathrm{que}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}.\:\:\:\mathrm{CQFD}. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{Reciproque}.\:\mathrm{Par}\:\mathrm{hypothese}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}. \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\overset{\rightarrow} {{g}}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:{g}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right) \\ $$$$\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\left(\mathrm{grace}\:\mathrm{a}\:\mathrm{l}'\mathrm{hypothese}\right)\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{egalite}\:\mathrm{parfaite}\:\mathrm{entre}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{4}\right). \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{donc}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}\:\Rightarrow\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}{g}\:=\:{got}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} .\:\mathrm{CQFD} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{b}\right),\:\mathrm{on}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{que} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{est}\:\mathrm{valable}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{deux}\:\mathrm{sens}.\:\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{relation} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{equivalence}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{en}\:\mathrm{deduit}\:\mathrm{que}\:\mathrm{toute}\:\mathrm{composition} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{affine}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{translation}\:\mathrm{est}\:\mathrm{egale}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{composition} \\ $$$$\mathrm{inverse}\:\mathrm{si},\:\mathrm{et}\:\mathrm{seulement}\:\mathrm{si},\:\mathrm{elle}\:\mathrm{laisse} \\ $$$$\mathrm{inchange}\:\mathrm{le}\:\mathrm{vecteur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{translation}. \\ $$

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